Три круга (площадь каждого из них равна s) касаются друг друга. найдите площадь круга, который внутренним образом касается трёх данных кругов.

Три РАВНЫХ по площади круга могут касаться друг друга только внешним образом. Окружность, которая ВНУТРЕННИМ образом касается трех указанных - это окружность, являющаяся ВНЕШНЕЙ для трех остальных.
Рассмотрим треугольник АВС. Это равносторонний треугольник со стороной, равной 2r.  Высота этого треугольника h равна r√3.
Тогда отрезок ОА=(2/3)*r√3, а радиус искомой окружности равен ОА+r или
R=(2/3)*r(√3+1)= r(2√3+3)/3.
Так как r=√(S/π), то R=r((2/3)*(√3+1)) или R=√(S/π)*((2√3+3)/3).
R²=(S/π)*((2√3+3)/3)² или R²=(S/π)*(12+12√3+9)/9=(S/π)*((7+4√3)/3).
Площадь искомого круга будет Sи=πR².
Тогда Sи=S*(7+4√3)/3.

Рассмотрим равностор треуг образованный центрами этих кругов. его сторона равна двум радиусам кругов(2r). его медианы пересекаются и делятся как 1/2
найдём мед , пусть её длина x
по т пиф x^2=(2r)^2- r^2
x^2=4r^2-r^2
x^2=3r^2
x=r корней из 3
найдём радиус маленького круга
r=2/3x+r=2/3rкорней из 3 +r= 2r/3корней из 3 +r
найдём площ этого круга
s=пи(2r/3корней из 3 +r)^2=пи r^2(2+3корней из 3)/3корней из 3)^2
найдём r через s
тк s=пи r^2,
то r^2=(s/пи)
s=s(7-4корней из 3)/3
ответ: s(7-4 корней из 3)/3

1.  сечение, проходящее через вершины  B, B1, D - это диагональное сечение BDD1. Его площадь равна BD*BB1. Из прямоугольного треугольника ABD найдем BD:  BD=17, тогда площадь сечения равна 17*21=357.
2.  Диагональ правильной четырехугольной призмы BD1 наклонена к плоскости основания под углом 30, поэтому угол между диагональю призмы BD1 и диагональю основания B1D1 равен 30. Из полученного треугольника найдем диагональ призмы: 
3.  площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна Р*Н:  S=6*2*5=60.
4.  Площадь основания равна 1/2*6*8= 24. Площадь боковой поверхности равна  288 - 2*24= 240.  Площадь боковой поверхности равна  Р*Н.
     Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10.
    Высота призмы  равна  288/(6+8+10)=12.

Основание АD трапеции ABCD лежит в плоскости α .Через точки B и C проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно.             а) каково взаимное расположение прямых EF и AB?       
         б) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°?
_____________
а) АД лежит в плоскости альфа. ВС параллельна АD, след, ВС параллельна плоскости α.
 По условию CF|| BE.
 Отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.  ВЕ параллельна и равна СF. Следовательно,  СВЕF  параллелограмм, ⇒ ЕF равна и параллельна ВС  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. АD|| ВС, ЕF || ВС след ЕF || АD.
ЕF лежит в плоскости α, ВА пересекает ее в точке, не принадлежащей ЕF.  Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. ⇒ 
прямые EF и AB - скрещивающиеся.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. 
. Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°.
Угол ВАD=180º-150º=30°
Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК, параллельную АВ.
Т.к. ЕF|| АD, а ЕК || АВ,  угол KEF=углу ВАD и равен 30°
-------------
Если ВЕ и СF  проведены в плоскости  трапеции АВСD,  ЕF будет лежать на АD и в этом случае EF и АВ лежат в одной плоскости и не параллельны.  В этом случае АВ  и  EF пересекаются, и угол между ними равен 30º