Катети прямокутного трикутника відносяться як 5: 12, а його медіана, проведена до гіпотенузи дорівнює 26 см. знайти р∆.

Обозначим катеты 5х и 12 х.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна двум медианам, то есть 52 см.
По Пифагору 52² = (5х)²+(12х)²
2704 = 25х² + 144х²,
2704 = 169х²,
х = √(2704/169) = √16 = 4 см.
Тогда катеты равны 5*4 = 20 см и 12*4 = 48 см.
Периметр Р = 20+48+52 = 120 см.

Сначала докажем, что если окружность описана около прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на гипотенузе.
пусть, дан треугольник АВС с прямым углом С
пусть, точка О-центр описанной окружности.
рассмотрим следующие треугольники:
ВОС-равнобедренный, ∠ОВС=∠ОСВ,
АОС-равнобедренный, ∠ОАС=∠ОСА
но сумма углов ВСО и АСО=90°, значит,
сумма углов САО + СВО=ВСО +АСО=90°
Сумма углов выпуклого четырехугольника =360°,значит, АОВ=360-90-90=180°, то есть развернутый угол
Кроме того, ОВ=ОА, поскольку О-центр окружности

задача1
АС = 12 см, ВС = 5 см;
АВ=√(СВ²+АС²)=√(144+25)=13 см
ОА=ОВ=13:2=7,5 см.

задача2.
АС = 16 см, ∠В = 30°.
АВ=16:sin30°=16:0,5=32
ОА=ОВ=32:2=16 см

Объяснение:

а) по теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ: АВ²=АС²+ВС²

АВ=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10см

Зная, что центр описанной окружности около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. Поэтому R=AB÷2

R=10÷2=5см;

ответ: R=5см

б) катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ будет в 2 раза больше него: АВ=АС×2; АВ=18×2=36см;

Также R=AB÷2; R=36÷2=18.

ответ: R=18см

От себя добавлю что если вычислять по формуле, которая дана в задании, то результат получается другой. Например: следуя ей и используя данные задания "а", получится следующее: R=(a+b-c)÷2=(8+6-10)÷2=

=(14-10)÷2=4÷2=2. Совсем другой результат. Правило, что центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике является середина гипотенузы, верно

ФОРМУЛА НА САМОМ ДЕЛЕ ТАКАЯ:

R=½×√(a²+b²), где " а" и "b"- катеты