Впрямоугольном треугольнике abc угол c=90 градусов, m-середина ac, n-середина bc, mn=6 см, угол mnc=30 градусам найдите а)стороны треугольника abc и an б)площадь треугольника cmn в)sin a , cos a , tg a.

MN - средняя линия ΔABC⇒AB=2MN=12; AC=2MC; BC=2NC.
В прямоугольном ΔMNC катет MC лежит против угла в 30°⇒MC=MN/2=3; NC=MNcos 30°=3√3; AC=2MC=6; BC=2NC=6√3.

Из прямоугольного ΔANC по теореме Пифагора находим
AN^2=AC^2+CN^2=36+27⇒AN=3√7

S_(CMN)=(1/2)CM·CN=9√3/2;

sin A=sin 60°=√3/2 cos A=1/2; tg A=√3

Длина такого отрезка равна высоте, опущенной на основание, деленной на КОСИНУС угла отрезка с этой высотой.

Косинус - монотонно убывающая функция (между 0 и 180, между 0 и 90 она еще и положительна, а у нас именно такой случай), что легко видно из координатного определения (асбцисса радиуса единичной окружности, чем больше угол, тем меньше координата конца радиуса - в интервале углов от 0 до 90).

Поэтому длина отрезка будет монотонно возрастать. Пока конец отрезка не достигнет вершины (конца основания).  

 

Есть еще какая-то теорема, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, применение этой теоремы к треугольнику, образованному отрезком, боковой стороной и куском основания, сразу решает задачу... но я не помню, как эта теорема доказывается без применения тригонометрии:

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

а) По теореме Пифагора:

AC = √(AB² - BC²) = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15

sin∠A = BC / AB = 8/17          sin∠B = AC / AB = 15/17

cos∠A = AC / AB = 15/17       cos∠B = BC / AB = 8/17

tg∠A = BC / AC = 8/15           tg∠B = AC / BC = 15/8

б) По теореме Пифагора:

АВ = √(BC² + AC²)  = √(21² + 20²) = √(441 + 400) = √841 = 29

sin∠A = BC / AB = 21/29          sin∠B = AC / AB = 20/29

cos∠A = AC / AB = 20/29        cos∠B = BC / AB = 21/29

tg∠A = BC / AC = 21/20            tg∠B = AC / BC = 20/21

в) По теореме Пифагора:

АВ = √(BC² + AC²)  = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5

sin∠A = BC / AB = 1/√5          sin∠B = AC / AB = 2/√5

cos∠A = AC / AB = 2/√5        cos∠B = BC / AB = 1/√5

tg∠A = BC / AC = 1/2               tg∠B = AC / BC = 2

г) По теореме Пифагора:

ВС = √(АВ² - AC²)  = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7

sin∠A = BC / AB = 7/25          sin∠B = AC / AB = 24/25

cos∠A = AC / AB = 24/25       cos∠B = BC / AB = 7/25

tg∠A = BC / AC = 7/24           tg∠B = AC / BC = 24/7