Образующая конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 30 градусов. Найдите площадь основания конуса

Дано:

конус

l (ВМ) = 6 см (образующая)

∠ВМО = 30°

Найти:

S осн - ?

Решение:

Осевое сечение конуса (секущая проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (МО) разделяет этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

sin(1/2 * 30˚) = R/l

sin(15˚) = R/6

sin(45˚ - 30˚) = R/6

sin(45˚) cos(30˚) - cos(45˚) sin(30˚) = R/6

(√2/3) * (√3/2) - (√2/2) * 1/2 = R/6

(√6/4) - (√2/4) = R/6

((√6) - (√2)) * 6 = 4R

(6√6) - (6√2) = 4R

4R= 6√6 - 6√2

R = (3√6) - (3√2)/2

Итак, ВО (R) = (3√6) - (3√2)/2

S осн = пR²

S осн = п((3√6) - (3√2)/2)² = 18 - 9√3п см²

ответ: 18 - 9√3п см²

Відповідь:

Площадь пересечения ромбов относится к площади объединения ромбов как 3/5.

Пояснення:

Ромб АВСД отразили относительно прямой ОО1, точки О и О1 являются соответственно серединами отрезков АД и ВС. При этом получился ромб А1В1С1Д1.

Найдем площадь ромба АВСД.

Sp = h × a

h = a × cos 30° = a × sqrt (3) / 2

Sp = a^2 × sqrt (3) / 2

Найдем площать треугольника АД1О.

Str = 1/2 × a/2 × h/2 = a^2 × sqrt (3) / 16

Найдем площадь пересечения ромбов ОД1ВО1В1Д.

Sперес. = Sp - 2 × Str = a^2 × sqrt (3) / 2 × ( 1 - 1/4 ) = a^2 × sqrt (3) / 2 × 3/4

Найдем площадь объединения ромбов АС1О1СА1О.

Sобъед. = Sp + 2 × Str = a^2 × sqrt (3) / 2 × ( 1 + 1/4 ) = a^2 × sqrt (3) / 2 × 5/4

Найдем отношение площади пересечения ромбов к площади объединения ромбов.

Sперес. / Sобъед. = 3/4 / 5/4 = 3/5

12 см

Объяснение:

Пусть длины проекций равны 5х и 9 х соответственно.

Тогда в обоих прямоугольных треугольниках (первый - с гипотенузой 13 см и проекцией 5 х; второй - с гипотенузой 15 см и проекцией 9 х) второй катет (расстояние от точки М до плоскости а) является общим.

Следовательно, согласно теореме Пифагора:

13² - (5х)² = 15² - (9х)²

169 - 25х² = 225 - 81х²

-25х² + 81х² = 225 - 169

56х² = 56

х = 1 см

Соответственно длины проекций составляют:

5 · 1 = 5 см и 9 · 1 = 9 см,

а искомое расстояние:

√(169 - 5²) = √(225 - 9²)

√144 = √144 = 12 см

ответ: 12 см