Вравнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 150°. найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции равна:
S=(a+b)*h/2 - где а и b - основания трапеции; h- высота

360 - 2*150=60 (град)

60 : 2=30 (град) - углы A  и D  
Найдём h  из sinD=sin30     sin30=1/2
sinD=sinA=h/CD=h/AB
1/2=h/6
h=1/2*6=3 (см)
Найдём нижнее основание:
если мы опустим высоты из углов B и С , то получим два прямоугольных треугольника, из которых мы найдём нижний катет, который является частью нижнего основания. Их здесь два.
По теореме Пифагора найдём нижний катет: 
6²-3²=36-9=25  √25=5 (см)
Нижнее основание равно:
4см + 2*5см =4+10=14 (см)
Отсюда:
S=(4+14)*3/2=9*3=27 (см²)

ответ: S=27см²

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 16 , MD = 12 , H - точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH.

РЕШЕНИЕ:

• АМ = АD - MD = 16 - 12 = 4
AK = AM + MD + DK = 4 + 12 + 12 = 28
• По свойству секущих:
АЕ • АС = АМ • АК = 4 • 28
• тр. АНЕ подобен тр. ACD по двум углам
( угол А - общий, угол АЕН = угол АDC = 90° )
Составим отношения сходственных сторон:
АЕ/AD = AH/AC = HE/CD, отсюда
АЕ/АD = AH/AC =>
AE • AC = AD • AH

AH = AE • AC / AD = 4 • 28 / 16 = 7

ОТВЕТ: 7.

На сто­ро­не BC ост­ро­уголь­но­го треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диа­мет­ре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту AD в точке M, AD = 32, MD = 8, H — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те AH.

Решение.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Угол — вписанный, опи­ра­ю­щий­ся на диаметр, по­это­му он равен 90°. Значит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых и — точка пе­ре­се­че­ния высот Про­дол­жим вы­со­ту до пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью в точке Получаем, что По тео­ре­ме о се­ку­щих получаем, что Тре­уголь­ни­ки и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, откуда:

ответ: 30.