Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 150 градусов, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 72 см.определи длину меньшего катета. решите , 20 .

ответ 
1) sin60=a/c
2) 1/2=a/c
3) a= c/2
4) a+c=72
5) a= 72-c
6) 72-c=c/2
7) 144-2c=c
8) 3c=144
9)c=48
10)a=24
\

S(amb)=S(bmc) => S(amb = 1/2 S(abc)

Ak - медиана треугольника AMB, так как BK=KM

S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc)

Проведем ML параллельно AP

ML - средняя линия ACP (так как ML параллельна AP и AM=MC) =>PL=LC

KP - средняя линия BMP=>PL=PB

PL=LC; PL=PB =>PL=LC=PB

S(bkp)/ S(mbc)= 1/2* sinB * BK* BP/1/2* sinB * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 BM и BP = 1/3 BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6

S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12

S(mbc)/S(cmkp) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5

P.s решение от krosch5.

Решение задачи начинаем с рисунка.
Постараемся сделать его по возможности соразмерным данным задачи.

АС=3 АВ
АМ=МС - так как медиана ВМ делит АС пополам,
∠ВАР=∠РАС, так как АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится).
Для того, чтобы проще было следить за решением, обозначим  площадь ᐃ АВС=S

Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны.
Так как АМ=МС, а высота у них одна и та же,

площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S

 

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон 

Следовательно, ВР:РС=АВ:АС=1:3

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту, относятся как 1:3
Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР.

Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S
⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S

Рассмотрим треугольник АВМ.
АК- биссектриса угла АВМ

 

АМ=АС:2=3 АВ:2=1,5 АВ

Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ  (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)
ВК:КМ=1:1,5

Площадь Δ АВМ= 0,5 S
0,5 S= площадь треугольника МАК+КАВ=2,5 площ Δ КАВ
Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S
Площадь Δ МАК=1,5 площ. КАВ =0,2*1,5= 0,3 S
Площ. МКРС=пл РАС - пл МАК

Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S
Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3