Вравнобедренном треугольнике abc ac=cb=4, bac=30, отрезок см-перпендикуляр к плоскости abc, cm=4см. найдите а) тангенс двугранного угла mabc б) угол между прямой ам и плоскостью mbc

a)    tg∠MHC = 2

б) ∠(AM; (MBC)) = arccos(√10/4)

Объяснение:

a) Пусть Н - середина АВ, тогда СН - медиана и высота равнобедренного треугольника АВС,

СН ⊥ АВ.

СН - проекция МН на плоскость (АВС), значит

МН ⊥ АВ по теореме о трех перпендикулярах.

Тогда ∠МНС - линейный угол двугранного угла МАВС.

Из прямоугольного треугольника АСН:

СН = АС/2 = 2 см, как катет, лежащий против угла в 30°.

ΔМНС:   ∠МСН = 90°,

              tg∠MHC = MC / CH = 4 / 2 = 2

б) ∠ВАС = ∠ВСА = 30° как углы при основании равнобедренного треугольника АВС, ⇒

∠АСВ = 180° - 30° · 2 = 120°

Проведем АК⊥ВС, тогда ∠ АСК = 180° - 120° = 60° (по свойству смежных углов).

ΔАСК:   ∠АКС = 90°

∠САК = 90° - 60° = 30°.

КС = 1/2 АС = 2 см как катет, лежащий против угла в 30°.

ΔСКМ: ∠МСК = 90°, по теореме Пифагора

           МК = √(МС² + СК²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 см

СМ⊥(АВС) по условию, значит

СМ⊥АК,

АК⊥ВС по построению, ⇒ АК ⊥ (МВС), тогда

МК - проекция прямой АМ на плоскость (МВС) и значит

∠АМК = ∠(АМ; (МВС)) - искомый.

ΔАМС прямоугольный равнобедренный, значит его гипотенуза

АМ = СМ√2 = 4√2 см

ΔАМК:   ∠АКМ = 90°

             cos∠AMK = MK / AM = 2√5 / (4√2) = √10/4

∠AMK = arccos(√10/4)

3) Находим основание заданной медианы - это середина стороны ВС:
М=((-4+6)/2=1; (2+1)/2=2)
Теперь по координатам точек А и М находим длину отрезка АМ:


4) Доказательством может служить равенство диагоналей заданного четырёхугольника:



5) В этом задании неизвестно, что надо доказать.

1) Точка, равноудалённая от точек А и В, находится на перпендикуляре, проведённом к середине отрезка АВ.
Находим уравнение прямой АВ:


-4x + 4 = 2y -10
y = -2x + 7.
Находим координаты точки С - середины отрезка АВ:

Уравнение перпендикуляра у = (-1 / (-2))х + в = (1/2)х + в.
Подставим координаты точки С, находящейся на этом перпендикуляре:
3 = (1/2)*2 + в = 1 + в.
в = 3 - 1 = 2.
Уравнение перпендикуляра у =  (1/2)х + 2.
При пересечении этого перпендикуляра с осью "х" значение "у" равно 0.
0 =  (1/2)х + 2.
х = -2 / (1/2) = -4.
ответ: на оси абсцисс точка, равноудаленная от точек А (1; 5).,В (3; 1), имеет абсциссу -4.

ABCD-квадрат. Окружность проходит через точки А и В и касается точки К на противоположной стороне, причем будет выполняться равенство СК=DK=6см. Теперь через точку К проведем прямую, параллельную сторонам ВС и AD. Эта прямая пересечет сторону AB в точке Е такой, что АЕ=ВЕ=6см. И эта прямая также пересечет окружность в точке М. МК-является диаметром нашей окружности, а формула длины окр-ти l=Пd.
Найдем ВК^2=BC^2+CK^2=144+36=180. Треугольник (МВК), одна сторона которого является диаметром окр-ти, а противолежащая вершина лежит на этой окр-ти, является прямоугольным, а эта вершина и будет вершиной прямого угла.Пусть МЕ=х, тогда из треуг. МВК:ВМ^2=(12+x)^2-180, а из треуг. МЕВ ВМ^2=36+x, приравняем, получим(12+x)^2-180=36+x144+x^2+24x-180=36-x^224x=72x=3 см,  МЕ=3см,  d=КМ=12+3=15смl=3,14*15=47,1см