Две окружности, имеющие радиусы 4 и 12 см, внешне касаются. ав - их общая касательная. найдите площадь фигуры, заключенной между этими окружностями и их общей касательной ав ( а и в - точки касания )

Решение......................

Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК.

Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны.

Поэтому ЕР II AB

=> ЕР перпендикулярно СР,

=> EC - диаметр,

и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр)

Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов.

Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК,

то есть если считать угол  ВСК = 5*х, то

угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х. 

Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов.

ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.

Основание правильной четырехугольной призмы- квадрат со стороной а,
а=24/4=6 см, боковое ребро ⊥ основанию и равно 10, 
площадь полной поверхности призмы равна  Sбок+2Sосн, Sбок = 10*4а=
10*24=240 см², Sосн= а²= 6²=36 см², Sполн=Sбок+2Sосн=240+2*36=
240+72=312 см²,
основание правильной треугольной призмы- равносторонний Δ со стороной а=24/3=8 см, и тремя равными углами α= 180°/3=60°,
Sосн= а²sin60°/2= (8²*√3/2)/2=64√3/4= 16√3 см²,
боковое ребро ⊥ основанию и равно 10 см, т е 
Sбок= 3а*h= 3*8*10=240 см², Sполн= Sбок+2Sосн= 240+ 32√3,
сравним площади полных поверхностей этих призм:
312=240+72 > 240+32√3,  (√3 < 2) , т е  у нас полная поверхность 
четырехугольной призмы больше треугольной