Известно, что в шестиугольнике а1а2а3а4а5а6 все углы равны. найдите длину отрезка а1а6, если длины отрезков а2а3, а3а4, а5а6 равны 3, 4 и 1 соответственно.

Углы данного шестиугольника равны, следовательно, он выпуклый. Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле N=180°(n-2), где N –сумма углов, n - количество сторон, а, значит, и углов.  

                   N=180°•(6-2)=720°.  

Каждый из равных углов шестиугольника равен 720°:6=120° .

Продлим  А₂А₃ и А₄А₅ до их пересечения в точке К. 

Продлим А₄А₅ и А₁А₆ до их пересечения  в точке М. 

Продлим А₄А₃ и А₁А₂ до их пересечения в точке С. 

 Сумма внутреннего и внешнего угла при каждой из вершин выпуклого многоугольника составляет развернутый угол = 180°.  

Углы, смежные с углами при вершинах шестиугольника, равны 180°-120°=60°.

Тогда в ∆ А₂СА₃, ∆ А₃КА₄ и ∆ А₅МА₆  углы  при их основаниях (сторонах шестиугольника) равны  60°, и  

∆ А₂СА₃, ∆ А₃КА₄ и ∆А₅МА₆ – равносторонние.  

 ∠КА₄А₃=∠КМА₁, они соответственные при пересечении СА₄ и А₁М секущей КМ. Равенство соответственных углов при пересечении двух прямых третьей - признак параллельности ⇒  

                        СА₄║МА₁. 

Аналогично из равенства накрестлежащих углов при А₄ и С  доказывается КМ║СА₁. 

Стороны четырехугольника СА₁МА₄ лежат на параллельных прямых, ⇒ они попарно параллельны.⇒ СА₄МА₁ - параллелограмм. 

МА₁=СА₄=СА₃+А₃А₄=7

А₁М=СА₄=7

А₁А₆=7-А₆М=7-1=6. 

Задача 1 
в прямоугольнике противоположные стороны равны и все углы = 90 градусов. если ВЕ - биссектриса то уголы при биссектрисе = по 45 градусов.если рассмотреть треугольнык созданный при биссектрисы то получается что углы равны 90, 45, и 45 (90-45), значит этот треугольник равнобедреный , поэтому стороны треугольника будут равны по 17 см .
если АЕ=ЕД, то =38
38+39=76
17+17=34
34+76=110
ответ периметр 110 см

Задача 2 

если  треугольник АВД - прямоугольный а один из углов = 60 градусов то другой = 30 градусов.по теореме сторона лежащая напротив угла = 30 градусов  равна полоаине гипотинузы если катет АВ = 12 см то ВД= 24 см 
в прямоугольнике диагонали = АС = 24 см.

Задача 3 
В прямоугольнике диагонали равны и если диагонали разделить на пополам они все будут равны из этого следует что треугольник ВАО - равнобедренный в равнобедренном треугольнике углы при основании равны поэтому угол ОВА или ОАВ =(180-40)/2=70 градусов

1) гипотенуза делится на 2 отрезка: 10х и 3х (х длина одной части гипотенузы); 2) из одной вершины треугольника две касательные равные: 3х; из второй вершины две касательные равные: 10х; из третьей вершины две касательные равные: у; 3) гипотенуза равна 3х+10х=13х; один катет равен 3х+у; второй катет равен 10х+у; 4) радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле: r=(a+b-c)/2; 5)подставим наши значения: 4=(3х+у+10х+у-13х)/2; 2у=8; у=4; 5) значит, один катет равен 3х+4; второй катет равен 10х+4; по теореме Пифагора: (13х)^2=(3х+4)^2+(10х+4)^2; 169х^2=9х^2+24х+16+100х^2+80х+16; 15х^2-26х-8=0; х=2; х=-4/15 (отрицательный корень нам не нужен); 6) гипотенуза равна: 13х=13*2=26; один катет равен: 3х+4=3*2+4=10; второй катет равен: 10х+4=10*2+4=24; ответ: 10; 24; 26