Втетраэдре abcd ребро ad имеет длину 4, а все остальные ребра равны 6. а) докажите, что прямые ad и bc перпендикуляры. б) найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую вс и перпендикулярной прямой ad.

A) Тетраэдр - четырёхгранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида.
Одинаковые ребра имеют одинаковые проекции на плоскость основания. Поэтому вершина тетраэдра проецируется в центр описанной около основания окружности.  Пусть в  нашем случае основанием будет грань АСD .  Тогда вершина В спроецируется в центр этого треугольника и проекция ребра ВС будет лежать на прямой СН, проходящей через центр описанной вокруг треугольника АСD окружности и  являющейся высотой этого треугольника. ВС и АD - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую параллельную ребру АD через точку С и тогда получим, что ВС перпендикулярна этой прямой, так как если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, доказано, что ВС перпендикулярна АD.

б) Площадь сечения, содержащего прямую ВС и перпендикулярного прямой АD - это площадь треугольника СВН. Оно равно S=(1/2)*ВО*СН.
По Пифагору СН=√(СD²-НD²) или СН=√(36-4) =4√2.
ВН=√(ВD²-НD²)=4√2. СН=ВН.
Пусть СО=х, тогда
ВО²=ВН²-(НС-х)²  и
ВО²=ВС²-х².  Значит ВН²-(НС-х)²=ВС²-х², или
32-32+8√2*х-х²=36-х² отсюда 8√2*х=36
х=9√2/4.  ВО=√(36-81/8)=√207/2√2.
S=(1/2)*(√207/2√2)*4√2=√207=3√23. Это ответ.
Или так:
В равнобедренном треугольнике СВН высота НР:
НР=√(ВН²-(ВС/2)²) или НР=√(32-9) =√23.
Тогда Scbh=(1/2)*BC*НР или Scbh=(1/2)*6*√23.
ответ: Scbh=3√23.

r=7.5 cm

Объяснение:

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, в котором угол В-прямой.  Окружность с центром в точке О, которая лежит на гипотенузе касается катета ВС в точке Т и проходит через точку А. Гипотенуза АС пересекает окружность в точке К.  К находится между О и А.

Известно, что катеты АВ=12 и ВС=16.

Проведем радиус ОТ.  Так как Т точка касания , то треугольник ОТС-прямоугольный и угол Т -прямой.

Косинус угла С равен:

cosC=BC/AC

Найдем АС по т. Пифагора из треугольника АВС:

АС=sqr(AB^2+BC^2)=sqr(144+256)=sqr400=20

cosC=16/20=4/5

sinC =sqr(1-cosC^2)=sqr(1-16/25)=sqr(9/25)=3/5

ОС=ОТ/sinC=r*5/3=OK+KC

5/3*r=r+KC

KC=2/3*r

AC=20=2r+2/3*r

8*r/3=20

8r=60

r=60/8

r=7.5 cm

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Если на диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка, то в полученном четырехугольника получится, что диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы четырехугольника пополам (то, что делят углы пополам видно из того, что диагоналями четырёхугольник делится на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, у которых катеты -это половина диагоналей, а гипотенуза - сторона четырехугольника; следовательно углы при гипотенузе равны по 45 градусов). Углы полученного четырехугольника - прямые. Все это относится к свойствам квадрата, значит четырёхугольник -квадрат, что и требовалось доказать.