Найдите площадь основания и площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, если n=3, боковое ребро равно b и образует с высотой пирамиды угол bb=6см, b=30 , надо!

Δ ABC - правильный ⇒ АВ=ВС=АС и ∠А=∠В=∠С=60°
DB=DA=DC=6 ⇒  равные наклонные имеют равные проекции
NB=NA=NC ⇒ N - центр описанной окружности

∠ADN=∠BDN=CDN=30°

Из прямоугольного треугольника АDN
R=AN=3 - катет против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы.
H(пирамиды)=DN=√(6²-3²)=√27=3√3 cм.
По формуле нахождения радиуса R окружности, описанной около равностороннего треугольника cо стороной а:
R=(a√3)/3  легко найти сторону треугольника.

3=(a√3)/3  ⇒a=3√3 см.

S(ΔABC)=(1/2)·a·a·sin60°=(a²√3)/4

При а=3√3
S(ΔABC)=(27√3)/4  - площадь основания

Для равностороннего треугольника N- является и центром вписанной окружности

NL=NK=r

r=(a√3)/6=3/2
Из Δ DNL по теореме Пифагора апофема боковой грани

h=DL=√(DN²+NL²)=√(27+(9/4))=3√10/2.

S (бок)=(1/2)·Р ( осн.) ·Н=(1/2)·(9√3·)(3√3)=81/2=40,5  кв см.

О т в е т.3√3 см; 40,5 кв. см

По теореме косинусов зная угол в 120 градусов найдем основание треугольника:
х" = 36+36-2*36*(-1/2), = 72+36 = √108
так как угол между диагональю большей грани и основанием 60 градусов.
то в прямоугольном треугольника где катет высота призмы и основание треугольника ..высота треугольника равна: cos 30 = h/12√3 (катет лежайщий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, сторона 6√3 лежит напротив этого угла), h = 18
площадь этой грани равна: S1 = 18*6√3 = 108√3.
S полн = 2Sосн + S1 + 2S2
S осн = 6*6*√3/2*2 = 9√3
S2 = 18*6 = 108
S полн = 2*9√3 + 108√3+2*108 = 126√3+216.

Задача № 1.  Чертёж во вложении.  

Рассмотрим треугольник ( далее просто сокращённо треуг.)  АВД:  АВ = 6, АД = 12, 

 угол ВАД = 60 градусов. По теореме косинусов найдём сторону ВД: 

   ВД = √(36 +144 - 2*6*12*cos60) = √(180 - 2*72*1/2) = √(180 - 72) = √108 = 2√27. 

 

Рассмотрим треуг. В1ВД:  он является прямоугольным, < ВДВ1 = 30 градусов, тогда угол ВВ1Д = 90 - 30 = 60 градусов (т.к. сумма острых углов в прямоуг. треуг. равна 90).  

  tg30 = В1В/ВД ,  В1В = tg30*ВД = 1/√3 * 2√27 = (2*√3*3)/√3 = 6.

  

  Sбок = Pосн * H,  H=6.  Pосн. = 6 + 6 +12 +12 = 36.

 > Sбок = 36*6 = 216 (квадратных единиц).  

                                                                                                  ответ: 216 (кв. ед.) 

 

 

 Задача № 2.  Чертёж во вложении. 

 Построение двугранного угла изложено во вложении с рисунком "Задача №2". 

  Рассмотрим треугольник АВС: этот треугольник правильный, значит стороны равны и углы по 60 градусов. Высота СЕ является и высотой, и биссектрисой, и медианой. Рассмотрим треугольник ЕВС: ЕВ = 3/2, ВС = 3, тогда ЕС по теореме Пифагора равна: 

 ЕС = √ (9 - 9/4) = (√27)/2 = (3√3)/2. 

  Как известно в правильном треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть ОС = 2х, тогда ЕО = х. 

  х + 2х =  (3√3)/2,  откуда х = (√3)/2. 

  ---> ЕО=  (√3)/2. 

 

   Рассмотрим треуг. ДОЕ: угол ДЕО = 45 град.; ЕО =  (√3)/2.

     cos45 = EО/ЕД,   ЕД = ЕО/cos45 =  (√3)/2 * 2/(√2) = (√3)/√2 = (√6)/2. 

  

  Sполн. = Sосн  + Sбок = (а*а*√3)4  +  1/2Pосн*l , a = 3,  l =  (√6)/2.

  Sосн = (9√3)/4,  Pосн = 3 + 3 +3 = 9. 

Sбок = 1/2*9* (√6)/2 = (9√6)/4 

  

      Sполн =  (9√6)/4   +    (9√3)/4  = (9√3(√2 + 1))/4    

 

 

 

 Проверь, может где ошибку в рассчётах допустил. (вторую особенно задачу проверь)