Основание прямой призмы-ромб. диагонали призмы составляют углы 30 градусов и 60 градусов с плоскостью основания, высота призмы 6 см. найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площади двух оснований и площади боковой поверхности. 

Обозначим вершины призмы ABCDD1A1B1C1

S осн= половине произведения диагоналей. 

АС=АА1:tg30°=6√3

BD=BB1:tg60°=6/√3

S ABCD=6√3•6/√3=36 см*

Площадь боковой поверхности - произведение высоты призмы на периметр основания, т.е. 6•4AB

Ромб - параллелограмм.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.  Для ромба, стороны которого равны, 

D²+d²=4AB². 

(6√3)²+(6/√3)²=4AB²

AB=√(27+3))=√30

Sбок=6•4√30=24√30см²

S полн=2•36+24√30=24(3+√3)см²

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E. 

Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1

————

АBCD- прямоугольник. ⇒

AFCB - прямоугольная трапеция.  Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований  на высоту. 

S=0,5•(FC+AB)•BC

СF следует найти. 

Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно. 

АК=ОК=ОТ=ТА=R

Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК

КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1

ЕН=ВК=АВ-R=32-R

По т.Пифагора из ∆ ОЕН

R²=(32-R)²+(R-1)²⇒

R²-66 R+1024=0  Решив квадратное уравнение, получим два корня:

R1=41;  R2=25

Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ,  и будет касаться не АВ, а её продолжения. 

R=ОЕ=25

Проведем ОМ перпендикулярно СD. 

Основание СF=CM+MF

CM=BK=AB-R=7

MF=√(OF²-OM²)

OM=AD-R=40-25=15

MF=√(25²-15²)=20

CF=20+7=27

S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)

Объяснение:

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Пусть плоскость проведённая через B, D и серединную точку M ребра B₁C₁ пересекается с плоскостью B₁C₁А₁ по прямой MN. M∈B₁C₁, N∈D₁C₁.

⇒MN||BD⇒BDNM-трапеция

BD||B₁D₁; MN||BD⇒MN||B₁D₁

MN-средняя линия треугольника B₁C₁D₁

ABCDA1B1C1D1- правильный прямоугольный параллелепипед⇒ABCD-квадрат, а боковые грани прямоугольники.

B₁M=0,5B₁C₁=ND₁, DD₁=BB₁, ∠MB₁B=∠ND₁D=90°⇒ΔMB₁B=ΔND₁D⇒MB=ND⇒

⇒BDNM-равнобедренная трапеция. Ч.Т.Д.