Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника, равна 8 см.площадь круга, ограниченного окружностью, вписанной в треугольник, равна: а) 4пи см², б) 64пи см², в) 16пи см². выберите правильный ответ.

Для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. Обозначим 1 часть за x, тогда:

1). Стороны четырехугольника равны 7x, 3x, 2x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:

7x+2x=3x+6x => 9x=9x, верно, значит такой четырехугольник может быть вписан в окружность.

2). Стороны четырехугольника равны 5x, 4x, 3x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:

5x+3x=4x+6x => 8x≠10x, неверно, значит такой четырехугольник не может быть вписан в окружность.

ответ: 1). Да, может; 2). Нет, не может.

Заметим, что

CHB = 180o- BAC = 180o-60o = 120o.

Пусть CC1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CC1B и BB1C находим, что

BCH = 90o- ABC = 90o-50o = 40o, CBH = CBB1=90o-70o=20o.

Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC , поэтому

COB = 2 BAC = 2· 60o = 120o, OCB= OBC = 30o,

значит,

OCH = BCH - BCO = 40o- 30o = 10o.

Из точек H и O , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом ( 120o ), значит, точки B , O , H и C лежат на одной окружности. Следовательно,

COH = CBH = 90o- 70o= 20o,

CHO = 180o - OCH - COH = 180o-10o-20o=150o.