Что можно сказать о параллелограмме, описанным вокруг окружности?

1)В четырехугольник можно вписать окружность только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

2)Следовательно, этот параллелограмм будет являться ромбом.

3)А центром этой окружности будет являться точка пересечения диагоналей ромба.

Проведем из точки А перпендикуляр на продолжение стороны БС, АИ перпендикулярна ИС, угол АБИ равен 180-100=80 градусов, далее можно найти высоту АИ, это будет синус от 80 градусов=5:АИ ; 0,9848=5:АИ отсюда АИ= 5:0,9848=5,077 (примерно равно)далее рассмотрим треугольник АИЕ, угол АИЕ =90 градусов, угол ИЕА равен 30 градусов, знаем, что катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы (АЕ гипотенуза в нашем случае) тоесть АЕ=2АИ=10,154 примерно, далее найдем ИЕ, оно будет равняться косинус 30 градусов умножить на АЕ. 0,866*10,154=8,7934 (примерно), теперь найдем ИБ, оно будет равняться косинус от 80 градусов*5; 0,1736*5=0,868, теперь найдем БЕ, оно будет равно ИЕ минус ИБ; 8,7934-0,868=7,9254 (примерно), теперь найдем БС, оно будет равно БЕ*2; 7,9254*2=15,8508; площадь параллелограма равна БС*ИА (сторона на высоту) 15,8508*5,077=80,4745 (квадратных единиц)
Находим радиус описанной окружности, описанной около треугольника АБЕ, нам нужны значения АБ=5 (было дано), БЕ=7,9254 (это нашел в решении), АЕ=10,154 (нашел в решении). найдем полупериметр (Р) он будет равен (5+7,9254+10,154)/2=11,5397;
Радиус описанной окружности равен (0,25*(5*7,9254*10,154))/√11,5397*(11,5397-5)*(11,5397-7,9254)*(11,5397-10,154)
получится 100,5931/√11,5397*6,5397*3,6143*1,3857
100,5931/√377,9599
100,5931/19,4412
получается 5,1742 это искомый радиус описанной окружности;
теперь осталось сделать рисунок, чтобы показать где что...

В треугольнике АВЕ <BEA = 30°, как внутренний накрест лежащии при параллельных ВС и AD и секущей АЕ. Тогда по теореме синусов: в тр-ке АВЕ АВ/Sin30° = BE/Sin50° = АЕ/Sin100° = 2R, где R - радиус описанной около треугольника АВЕ окружности. Итак, из этого соотношения имеем: R = АВ/(2*Sin30°) = 5/1 = 5см (Sin30°=0,5).
ВЕ = АВ*Sin50°/Sin30° = 5*0,766/0,5 = 7,66см. ВЕ = 0,5*AD, значит AD= 15,31см
Высота параллелепипеда - перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, то есть это катет, лежащий против угла 30° и значит = 0,5*АЕ.
АЕ = 10*Sin100° = 9,85cм. AD = 19,7см. h = 4,93см
Площадь равна 4,93*19,7 = 97см²
Проверь арифметику!