Ни одна из вершин произвольного треугольника не принадлежит плоскости а( альфа докажите, что расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника к плоскости а равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника к этой плоскости.

Объяснение:

все рассматриваемые расстояния --это перпендикуляры к плоскости альфа (эти отрезки параллельны)...

через две параллельные прямые можно провести плоскость...

в этих трех плоскостях (проецирующих стороны треугольника на плоскость альфа) можно увидеть трапеции

1. средняя линия трапеции (это икс) = полусумме длин оснований.

2. медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

1) из прямоугольного треугольника выразим длину и ширину через диагональ и известный угол и подставим вформулу периметра

(d sin 39 + d cos 39)=70

d sqrt(2) (sin 39 cos 45 + cos 39 sin 45)=70

d sqrt(2)  sin 84 = 70

d=70/( sqrt(2) sin 84 )

теперь нетрудно найти стороны

AB= 31.32

BC = 38.68

2) Построим ромб и опустим высоту OC на сторону AB. 

Угол BCA=BAC = 70 Угол OCA=20 - из суммы углов  треугольника.

Теперь из прямоугольного треугольника OCA найдем высоту ромба

OC = AC sin 20

OC= 4.79

3) Рисунок - половина решения.

Для двух прямоугольных треугольников распишем соотношение сторон через гипотенузы и углы

AC= AB cos a

AC = AD cos (a-b)

BC= AB sin a

CD = AD sin (a-b)

выразим AD= AB cos a/ cos(a-b)

BD=BC-CD

BD= AB sin a- AB sin(a-b)/cos (a-b) cos a= AB (sin a - tg (a-b) cos a)

или BD=c( sin a - tg(a-b) cos a)

.Проведем SO — высоту пирамиды и перпендикуляры SK, SM и SN к соответствующим сторонам ΔАВС. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK ⊥ ВС, ОМ ⊥ АС и ON ⊥ AB. Так что ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 60° — линейные углы данных двугранных углов. Значит, треугольники SKO, SMO и SNO равны по катету и остромууглу. Тогда OM = OK = ON, то есть точка О является центром окружности, вписанной в основание. В прямоугольном ΔAВС: 1. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, все боковые грани - равные равнобедренные тр-ки. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды. 
Следовательно, имеем боковую грань(равнобедр. тр-к с основанием=12 и высотой(апофемой)=15 см Высота равнобедр. тр-ка делит основание пополам и образует прямоуг. тр-к со стороной основания и бок. ребром пирамиды. Тогда по Пифагору: 
Бок. ребро=корень кв. из (6^2+15^2)=корень кв. из 261