Диагонали трапеции авсд пересекаются в точке о.вычислите площадь трапеции, если известно, что од: ов=3, а площадь треугольника осд равна 9.

обозначим площадь трапеции как s.

s=(ab+cd)*h/2, где h-высота трапеции.

обозначим высоты треугольников oab и ocd, проведенные из точки o, как h1 и h2 соответственно. отметим, что h=h1+h2. тогда

s= (ab+cd)*(h1+h2)/2

отметим, что треугольники oab и ocd подобные из-за равенства соответствующих накрест лежащих углов. из подобия треугольников и из условия od/ob=3 вытекает, что cd/ab=3, а также h2/h1=3.

ab=cd/3, h1=h2/3. подставляем полученное в формулу площади трапеции:

s=(cd/3+cd)*(h2/3+h2)/2

s=4/3*cd*4/3*h2/2    s=16/9*(cd*h2/2), cd*h2/2 - это площадь треугольника ocd, поэтому s=16/9*9=16. ответ 16.

пусть одна часть равна х , тогда по условию один из смежных углов равен 4х°, а другой угол равен 5х°. так как сумма смежных углов равна 180°, то составим уравнение 4х+5х=180;   9х=180;   х=180/9=20°. одна часть равна 20° меньший угол состоит из четырех частей, значит он равен 4·20=80°. больший угол состоит их пяти чистей и равен 5·20=100° .так как при пересечении двух прямых имеются вертикальные углы. которые межде собой равны, то 2 угла будут по 80°, а другие два угла будут по 100°.

  сумма противолежащих   углов вписанного четырехугольника равна 180°. четырехугольник авсd - вписанный, ⇒ ∠ваd+∠bсd=180°. угол ваl - развернутый. сумма смежных углов равна 180°. ⇒ ∠bаd +∠lad =180°.   на приложенном рисунке   ∠ lad обозначен как 1, а ∠kcd – 2. следовательно, угол с =∠1.

  рассмотрим треугольники аld и скd. вертикальные   углы при d равны – вычтя их из суммы углов треугольника, получим < 1+< l=< 2+< k. по условию < k-< l=60°. ⇒ ∠к=60°+< l заменим в предыдущем уравнении угол к найденным значением: ∠1+∠l=< 2+60°+∠l, откуда ∠1=∠2+60°. равный углу 1 ∠с=∠2+60° , ⇒ ∠2=∠с-60°, поэтому ∠с-60°+∠с=180°,   ⇒ 2с=240°, ∠с=120° и, следовательно, угол ваd=60°