Дан прямоугольный тр abc ∠b=90° опущена высота bh=5, ас=20. найти ba

Из суммы углов треугольника несложно показать подобие треугольников BHC и AHB. В подобных треугольниках соотношения соответствующих сторон равны. Этим и воспользуемся.
Для HC получается два значения. Это потому что он может быть коротким, тогда AH будет длинным, либо наоборот - длинным, тогда AH будет коротким. Чтобы решение больше походило на рисунок, можно выбрать HC = 5 × (2 - √3), тогда AH = 5 × (2 + √3). В общем, это не принципиально.
Дальше по теореме Пифагора несложно найти BC.

Прямоугольные ΔАДС и ΔВЕС подобны по острому углу (угол С- общий).
Значит АД/ВЕ=ДС/ЕС=АС/ВС
или ДС/АС=ЕС/ВС
Получается, что ΔАВС подобен ΔДЕС по 2 пропорциональным сторонам (ДС/АС=ЕС/ВС) и углу между ними (угол С- общий)
ДС/АС=ЕС/ВС=ЕД/АВ
Т.к. ЕС=ВС*cos C и ДС=АС*cos C, то ЕД/АВ=cos C. 
Вокруг четырехугольника НДСЕ можно описать окружность, т.к. суммы величин его противоположных углов равны 180° (<Д+<Е=90+90=180°). Вписанные углы НДС и НЕС прямые, значит они опираются на диаметр СН, тогда радиус окружности R=СН/2=65/2=32,5
ΔДЕС является тоже вписанным в эту окружность, значит R=ЕД/2sin C,
откуда sin C=ЕД/2R=60/65=12/13
cos C=√(1-sin²C)=√(1-144/169)=√25/169=5/13
АВ=ЕД/cos C=60 / 5/13=156. 

1. Если принять значение первого угла за одну часть общего угла, соответственно второй угол будет равен четырем частям (из условия задачи), следовательно 4-1=3, а по условию задачи, их разница равна 108. Теперь делим 108 на 3, получаем, что одна часть общего угла равна 36 градусам, следовательно первый угол будет равен 36 градусам (1*36), а второй 144 градуса (4*36). В сумме, они дают 180 градусов, из чего можно сделать вывод, что прямые, которые пересекает прямая, образующая эти углы, параллельны между собой.

2.  Углы АВС и ВСД равны, так как они накрест лежащие. Отсюда делаем вывод, что треугольники АВС и ВСД равны по двум сторонам (АВ=СД и СВ - общая) и углу между ними.