Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны: 5; 6; 9

S по 3 сторонам находится по формуле Геррона:  S=p(p-a)(p-b)(p-с) (всё под корнем, p - это полупериметр, p=(a+b+c)/2) = (5+6+9)/2=20/2=10
S = 10(10-5)*(10-6)*(10-9)=10*5*4*1= √200 ~ 14,2

Ромб АВСД, АВ=ВС=СД=АД=8, радиус=2*корень3, проводим перпендикуляры в точки касания ОН на АД и ОМ на АВ, ОН в квадрате=АН*НД - (это уравнение получается из отношения сторон подобных треугольников,  треугольник АОН подобен треугольнику НОД как прямоугольные по равным острым углам - угол АОН=90-1/углаА=90-30=60, уголНДО)=1/2 углаД=(180-60)/2=60, тогда АН/ОН=ОН/НД или ОН в квадрате=АН*НД), НД=х, АН=8-х, 12=(8-х)*х, х в квадрате-8х+12=0, х=(8+-корень(64-4*12))/2=8+-4/2, х1=2=НД, х2=6=АН, АН=АМ-как касательные проведенные из одной точки=6, треугольник АМН равнобедренный, но уголА=60, а уголАМН=уголАНМ=(180-60)/2=60, треугольник равносторониий, МН=АН=АМ=6

  Проведем ЕК параллелльно АД. 
 Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ  и СК  
Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС. 
Они подобны, т.к. если в одном прямоугольном треугольнике  один из острых углов равен острому углу другого, то эти  треугольники подобны
 Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны.   
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ  параллельно ЕМ. 
 Получился прямоугольник МЕНТ 
В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как  накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК. 
 В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали.
 Они равны и точкой  пересечения О делятся пополам.
Следовательно, треугольник  ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН.  
А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен  углу ВСЕ и равен углу СДМ. 
Каждый из этих равных  углов  дополняет углы при МД до  прямого.
Следовательно,  углы АМД и АДМ равны, и  треугольник АМД - равнобедренный.