Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен-28 дм, а площадь 48, 96 дм^2

Длина одной стороны обозначаем  x дм , длина  другой стороны будет 48,96/x  дм.
* * *или  x дм  ;    (28-2x)/2 =(14 - x)  ⇒уравнение   x(14 -x) =48,96  * * *
Можно написать уравнение:
2(x +48,96/x) =28  ⇔ x +48,96/x =14 ⇔ x² +48,96 =14x   ⇔ 
x² -14x +48,96 =0  ;  D/4 =(14/2)² - 48,96  =7² - 48,96 =49 - 48,96 =0,04 = 0,2².
x₁= 7 -0,2 =6,8 (дм) ;  * * * длина другой  стороны 48,96/6,8  = 7,2 (дм)  * * *
x₂ =7+0,2 =7,2 (дм) .  * * * длина другой  стороны 48,96/7,2  = 6,8 (дм)  * * *

ответ : 6,8 дм ;  7,2 дм.
* * * * * * * * * * * * * *
{2x +2y =28 ;x*y =48,96. ⇔{2(x +y)=2*14 ; x*y =48,96. ⇔{x +y=14 ; x*y =48,96 .
По обратной  теореме Виета x  и y корни уравнения:  t² -14t +48,96 =0 .

Решение задания смотри на фотографии

Раз уж первую задачу решили правильно, её расписывать не буду.
2) В прямоугольном треугольнике катет равен среднему пропорциональному гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Другими словами, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета.
АВ²=АН·АС=10·40=400,
АВ=20 - это ответ.

3) Точка, равноудалённая от сторон треугольника является центром вписанной в него окружности. Он, в свою очередь, лежит на пересечении биссектрис треугольника, значит АО - биссектриса угла АВС. ∠АВС=2∠АВО=2·39=78°.
В тр-ке АОС ∠ОАС+∠ОСА=(∠ВАС+∠ВСА)/2=(180-∠АВС)/2=(180-78)/2=51°.
∠АОС=180-(∠ОАС+∠ОСА)=180-51=129° - это ответ.

PS. Так как точка О не является центром описанной вокруг треугольника окружности, нельзя говорить о том, что угол АВС вписанный и, тем более, что угол АОС центральный и что он равен двум вписанным.

Пусть высота проведенная из прямого угла А (треугольника АBC) будет обозначена АК. Тогда ВК является проекцией стороны АВ на гипотенузу ВС, а КС -проекцией АС на гипотенузу. Согласно формулам : АВ=√ВК*ВС и АС=√КС*ВС.
Мы знаем соотношение катетов АВ и АС = 6:5, значит надо составить пропорцию  АВ/АС=√ВК*ВС/√КС*ВС,  ВС сокращается и получаем , что ВК/КС=(АВ/АС)^2=36/25
Зная ,что ВК больше КС на 11см, получаем ВК=КС+11, подставим в предыдущую формулу, получим 
(КС+11)/КС=36/25
25(КС+11)=36КС
25КС+275=36КС
11КС=275
КС=25см
ВК=25+11=36см, значит гипотенуза ВС=ВК+КС=25+36=61см
Отве: 61см