Тело r состоит из тел р и q, имеющих соотвнственно обьемы v1 и v2. выразите обьнм v тела r через v1 и v2, если: а) тела р и q не имеют общих внутренних точек; б) тела р и q имеют общую часть, обьем которой равен 1/3v1.

Так как объём тела, состоящего из двух тел равен сумме объёмов этих тел минус их пересечение, то а) V=V1+V2; б) V=V1+V2-1/3 V1=2/3V1+V2.

Параллелограммом в называется фигура с четырьмя углами, у которой параллельны противоположные стороны. таким образом, ромб, квадрат и прямоугольник являются разновидностями этого четырехугольника.2докажите, что две из противолежащих сторон равны и параллельны относительно друг друга. в параллелограмме abcd это признак выглядит так: ab=cd и ab||cd. нарисуйте диагональ ас. полученные треугольники окажутся равными по второму признаку. ас - общая сторона, углы вас и асd, также как и вса и cad, равны как лежащие  накрест  при  параллельных прямых  ab и cd (дано в условии). но так как эти накрест лежащие углы относятся и к сторонам ad и bc, значит эти отрезки также лежат на параллельных прямых, что и подвергалось доказательству.3важным элементами доказательства, что abcd параллелограмм, являются диагонали, так как в этой фигуре при пересечении в точке o они делятся на равные отрезки (ao=oc, bo=od). треугольники aob и cod равны, так как равны их стороны в связи с данными условиями и вертикальные углы. из этого следует, что и углы dba и cdb также как и cab и acd равны.4но эти же углы являются накрест лежащими при том, что прямые ab и cd параллельны, а роль диагонали выполняет секущая. доказав таким образом, что и два других образованных диагоналями треугольники равны, вы получите, что данный четырехугольник параллелограмм.5еще одно свойство, по которому можно доказать, что четырехугольник abcd - параллелограмм звучит так: противоположные углы этой фигуры равны, то есть угол b равен углу d, а угол c равен a. сумма углов треугольников, которые мы получим, если проведем диагональ ac, равна 180°. исходя из этого получаем, что сумма всех углов данной фигуры abcd равна 360°.6вспомнив условия , можно легко понять, что угол a и угол d в сумме составят 180°, аналогично угол c + угол d = 180°. в тоже время эти углы являются внутренними, лежат на одной стороне, при соответствующих им прямых и секущих. отсюда следует, что прямые bc и ad параллельны, и фигура является параллелограммом

  і ми зустрічалися з різними рівняннями і будували їх графіки.

рівнянням фігури на площині в декартових координатах називається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури, і навпаки: будь-які два числа, які задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки цієї фігури.

яке ж рівняння має коло?

для того щоб скласти рівняння кола, згадаємо його властивість, що міститься в означенні кола: усі точки кола розміщені в одній площині з його центром і однаково від нього віддалені.

нехай центр кола м(а;   b), а радіус кола  r  (рис. 140).

 

 

позначимо на колі будь-яку точку а (х; у). відстань від точки м до точки а дорівнює  r, тобто  am  =  r, але за формулою відстані між двома точками маємо ам2 = (х – а)2 + (y  –  b)2, або  (x  –  a)2 + (y  –  b)2 =  r2. (1)

координати будь-якої точки цього кола задовольняють рівняння (1). правильно і те, що будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить колу.

отже,  (x  –  a)2 + (y  –  b)2 =  r2  — рівняння кола. якщо центр кола (рис. 141) лежить у початку координат, то воно має рівняння х2 + у2 =  r2.

 

 

розглянемо рівняння (1), у якому х і у — змінні координати точок кола, а числа а і  b  — відповідно абсциса і ордината центра,  r  — радіус кола. отже, щоб записати рівняння кола, треба запам'ятати цю формулу і знати координати центра і радіус.

наприклад, нехай  m(-1; 2),  a  r  = 2, тоді рівняння кола  (x  +  1)2  +  (y  – 2)2  = 4.

 

виконання вправ

1)  які з точок: а(1; 2), в(3; 4), с(-4; 3),  d(0; 5),  f(5; -1)  —лежать на колі, рівняння якого х2 + у2 = 25? 2)  запишіть рівняння кола радіуса 1, а координати центра:

а) (1; 1);        

б) (-1;   1);      

в) (1; -1);      

г) (-1; -1)

3)  укажіть координати центра і радіус кола, яке задане рівнянням:

a) (x  – 1)2 +  y2  = 9;          

б)  (x  + 1)2  + (у + 3)2 = 1;

в)  x2  + (y  + 1)2 = 2;          

г)  (x  +  1)2  +  (y  + 2)2  =  7.

4)    знайдіть на колі х2 + у2 = 100 точки:

а) з абсцисою 6;  

б) з ординатою 8.

 

iv.  закріплення й усвідомлення нового матеріалурозв'язування

1.    дано точки а(2; 1), в(-2; 5). складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав.2.    дано точки а(-1; -1) і с(-4; 3). складіть рівняння кола:

а) з центром у точці а і яке проходить через точку с;

б) з центром у точці с і яке проходить через точку а.

3.    знайдіть на осі ох центр кола, яке проходить через точку а(1; 4) і має радіус 5.4.    складіть рівняння кола з центром (1; 2), яке дотикається до осі ох.5.    складіть рівняння кола з центром (-3; -4), яке проходить через початок координат.6.    доведіть, що відрізок ав, кінці якого а(2; -5) і в(5; -2) є хордою кола (х - 5)2 +(у + 5)2 = 9.7.    чи перетинає коло (х + 4)2 + (у – 1)2 = 20 вісь оу? якщо перетинає, то в яких точках?

 

v. є завдання

вивчити рівняння кола та розв'язати і.

1.    коло задане рівнянням (х – 1)2 + (у + 3)2 =10. чи проходить це коло через початок координат? 2.    чи перетинає коло (х – 3)2 + (у + 5)2 = 26 вісь ох? якщо перетинає, то знайдіть точки перетину з віссю ох.3.    знайдіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок ав, якщо а(8; 5), в(2; -3).

 

vi. підбиття підсумків уроку

завдання класу

1.    запишіть рівняння кола.2.    знайдіть координати центра і довжини радіусів кіл, зображених на рис. 142. запишіть рівняння цих кіл.