Втрапеции авсd углы а и в прямые. диагональ ас – биссектриса угла а и равна 3 см. найдите площадь трапеции, если угол cda =60⁰.

Треугольник ABC - равнобедренный, т. к. <BAC=<CAD= высота равна меньшему основанию
h=b,
и к тому же ABC - прямоугольный, по т. Пифагора
2*h^2 = 6^2,
h = 6/корень (2) = 3*корень (2).
tg(60 градусов) = h/(a-b), а-это большее основание, b -это меньшее основание,
корень (3) = 3*корень (2)/(a-b), отсюда.
a-b = корень (6), но b=h=3*корень (2),
a = b+корень (6) = 3*корень (2) + корень (6),
a+b = 6*корень (2) + корень (6),
S = (3V(2))*(6*V(2) + V(6))/2 = 3*(6V2 + V6)/V2 = 3*(6+V3)

Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .

В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше 
полупериметра треугольника. 
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Сделаем рисунок.

Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная. 

 

 

В любом треугольнике

расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.

( Доказательство этой теоремы   при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)

То-есть в данной задаче AЕ = p.
Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Это утверждение вытекает из того, что

по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.

 

Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,

он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. 
Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=7√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3
R:7√3 = 1/√3
R=7√3 ·1/√3=7

 

 

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°.
Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

 

Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник
S=(a²√3):4
Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды.
Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме.
S=ah:2
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему.
Угол АSC- прямой.
Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный.

Апофема грани пирамиды  - высота и медиана этого треугольника.
Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Высота SM равна половине АС и равна а:2
Площадь треугольника АSС=(а*а:2):2=а²:4
Площадь боковой поверхности равна 3а²:4
Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания
Sбок:S ᐃ АВС=(3а²:4):{(a²√3):4}=√3