Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, а высота призмы равна √3. найдите объём призмы.

V= hS = √3·S

S= √( p(p-a)(p-b)(p-c) )=
= √( 9(9-3)(9-3)(9-3) )= 3√6³= 18√6

V= √3·18√6 = 3·18√2= 54√2

3 см
Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны. АВ=ВС=АС=2√3Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Медиана ВН (она же биссектриса, она же высота) делит треугольник АВС на два треугольника. B AHC Рассмотрим треугольник АВН: Т. к ВН-биссектриса, то угол АВН=30° (т. к в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).Треугольник АВН - прямоугольный (т. к ВН еще и высота). По св-ву прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30°:АВ - гипотенуза треугольника АВН. АН - катет, лежащий против угла в 30°.Значит, АН=1/2*АВАН=1/2*2√3АН=√3Теперь, по теореме Пифагора найдем сторону ВН. АВ2=ВН2+АН2(2√3)2=х2+(√3)2(√12)2=х2+312=х2+3 ==> х2=9 х=3ВН=3 см. ответ: ВН=3 см


1)

Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.

----------

  Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.

Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.

  Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.

◡AC=2πL/3

  В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.

2πr=2πL/3 ⇒ L=3r

  Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза)  найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.

L²-r²=h²

9r²-r²=32

r²=32:8=4

V(кон)=πr²•h/3

V=(π4•4√2):3=(π16√2):3 

  (ед. объёма)

2)

  В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.

   Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.

   Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.

   Радиус  конуса равен 1/3 высоты СН  правильного треугольника АВС

   Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.

   Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.

r=OН=(КС:sinα):3=(m:sinα):3 =m:3sinα ⇒

высота МО=OH•tgα=(m:3sinα):sinα/cosα=m:3cosα