Дан треугольник авс с прямым углом в. найдите длину медианы вм если: ас=10см; ам=8см; мс=√2см; вм+ас=12см.

ответ: ВМ = 0.5 АС = 5см
Докажем, что медиана идущая из прямого угла равна половине гипотенузы.

вокруг любого п/у треугольника можно описать окружность. При этом гипотенуза будет диаметром
тогда середина гипотенузы это центр
описанной окр
радиусы проведенные из точки М равны.
тогда медиана равна 1/2 гипотенузы

AB = CD так как трапеция равнобедренная,
∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,
AD - общая сторона для треугольников BAD и CDA, ⇒
ΔBAD = ΔCDA  по двум сторонам и углу между ними.

Значит ∠CAD = ∠BDA.
Тогда ΔOAD равнобедренный, прямоугольный, и его высота (ОН) является и медианой, проведенной к гипотенузе, значит, равна ее половине:
ОН = AD/2

ΔВОС подобен ΔDOA по двум углам, значит и
ОК = ВС/2

КН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 ⇒ высота равна средней линии.

Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = KH · KH = 18² = 324 см²

И вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней  линии трапеции (или полусумме оснований).

1. Рассмотрим прямые AD и ВС: обе они пересечены секущей АВ, углы А и В при этом - односторонние. По условию <A+<B=180°. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Таким образом, получаем, что ADIIBC. 
2. Прямые АВ и CD также пересечены секущей ВС. Углы В и С при этом - односторонние, по условию <B+<C=180°. Значит, АВIICD также.
Таким образом, данный четырехугольник - параллелограмм, поскольку противоположные стороны его попарно параллельны.