1)площадь трапеции равна 198 см2 , одно из оснований -15 см , а высота-9 см.найти другое основание трапеции. 2)найдите площадь трапеции , основания которой равны 6 см и 12 см , а боковая сторона равна 8 см и образует с меньшим основанием угол =120°

1. S (трапеция) = 1/2 * (AB + CD) * BH, где AB и CD - основания, а ВН - высота.
198 = 1/2 * (15 + АВ) * 9
396 = (15 + АВ) * 9
396 = 135 + 9АВ
9АВ = 396 - 135
9АВ = 261
АВ = 29
ответ: другое основание трапеции 29 см .

2. Пусть BC и AD - меньшее и большее основания соответственно, ВН - высота.
1) Трапеция равнобедренная ⇒ ∠А = (360° - 120° * 2) : 2 = 60°
2) В прямоугольном ΔАВН ∠АВН = 30° ⇒ АН = 1/2 * АВ = 4 см
По теореме Пифагора:
ВН² = АВ² - АН²
ВН² = 8² - 4²
ВН = √(64 - 16)
ВН = √48
ВН = 4√3
3) SABCD = 1/2 * (BC + AD) * BH = 1/2 * (6 + 12) * 4√3 = 36√3
ответ: площадь трапеции 36√3 см² .

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая. 
Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней =6  
вторая сторона а, и высота к ней 4 см 
третья сторона с, и высота к ней 3 см.  
Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны: 
S=4a:2
 S=3c:2 
S=6b:2 
Площадь треугольника, найденная любым одна и та же.  
Поэтому  3c:2=6b:2 
с=2b 
4a:2=6b:2 
а=1,5b
Вычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b. 
Полупериметр 
 р=(а+b+с):2=(b+1,5b+2b):2=4,5b:2=2,25b 
S=√(2,25b*0,75b*1,25b*0,25b)=√0,52734375b⁴ 
S=0,72618b² 
0,72618b²=6b:2
0,72618b=3 
b=3:0,72618=4,1312 
S=6b:2= 6*4,1312:2=12,3936 см² 
 Попутно: 
с=2b=8,2624 
а=1,5b=6,1968 
Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для  каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.  

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:



1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

ответ: φ/2.



ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.