Найти площадь параллелограмма, если известны его диагонали равные 8 и 4/3 , и острый угол 60° между ними

Площадь параллелограма = 1/2 * (d1 * d2) * sin(a)

где d1, d2 - диагонали

sin(a) - угол между ними

Площадь = 1/2 * 8 * 4√3 * sin 60 = 24

т.е.
<1 ÷ <2 = 5 ÷ 7
Решение:
1) сначала будет алгебра:

▪Пусть величина угла - х. Значит
<1 =5х
<2 = 7х
вспомним геометрию:
▪
<1 + <7 = 180 как внешние односторонние углы
5х + <7 = 180
<7 = 180 - 5х


2) теперь пошла чистая геометрия:
▪
<2 = <7 как внешние накрест лежащие углы. Подставим наши значения:
7х = 180 - 5х
7х + 5х = 180
12х = 180 |÷12
х = 15

▪
<1 =5х = 5 × 15 = 75°
<2 = 7х = 7 × 15 = 105°
<7 = <2 = 105° как внешние накрест лежащие углы.
<8 = <1 = 75° как внешние накрест лежащие углы.
<5 = <1 = 75° как соответственнве углы.
<4 = <5 = 75° как внутренние накрест лежащие углы.
<3 = <7 = 105° как соответственнве углы.
<6 = <3 = 105° как внутренние накрест лежащие углы.

Примем длины рёбер за 1.
Ромб с острым углом 60 градусов имеет меньшую диагональ, равную стороне. Половина такого ромба - равносторонний треугольник.
Опустим из точек В и Д перпендикуляры на боковое ребро.
Они пересекутся в точке К.
Треугольник ВКД  - равнобедренный. В основании - диагональ ВД = 1.
КВ = КД = 1*cos 30° = √3/2.
Искомый угол ВКД равен :
∠BKD = 2arcsin((1/2)/(√3/2) = 2arcsin( 1/√3) = 2arcsin(√3/3) =  70,52878°.

Тангенс половины угла BKD = α  равен:
 tg(α/2) = (1/2)/(√((√3/2)² - (1/2)²) = (1/2)/√(2/4) = √2/2.
Тангенс искомого угла равен:
tgα = 2*tg(α/2)/(1 - tg²(α/2)) = 2*(√2/2)/(1 - (2/4)) = 2√2.
Его квадрат равен 8.