"прямые и плоскости" из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 10 см, проведена наклонная под углом 60 градусов к плоскости. найдите проекцию наклонной на эту плоскость.

Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра. опущенного из данной точки на данную плоскость. 
Наклонная (AB), ее проекция (BC) на плоскость и перпендикуляр (AC),  проведенный из той же точки, что и наклонная, к той же плоскости, образуют прямоугольный треугольник ABC. 

В прямоугольном треугольнике ABC:
∠ACB = 90°
∠ABC = 60°
AC = 10 cм - катет. противолежащий углу 60°
BC - катет, прилежащий углу 60°

Отношение противолежащего катета к прилежащему катету является тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике.

tg(∠ABC) = AC / BC

tg(60°) = √3

√3 = 10 / BC

BC = 10 / √3

BC = 10√3 / 3 (см)

Объяснение:

CD = a,  AB = 2a.

ΔAOB ~ ΔCOD по двум углам (∠ОАВ = ∠ОСD как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АС, углы при вершине О равны, как вертикальные)

Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению сходственных сторон, т.е.

h₁ / h₂ = 1/2   ⇒   h₂ = 2h₁

______________________________________

MN║AB║CD, тогда по обобщенной теореме Фалеса

Проведем СК║AD. СК∩MN = E.

ADCK - параллелограмм, значит АК = CD = a.

KB = AB - AK = a

MDCE параллелограмм (MD║CE и ME║CD ), значит ME = CD = a.

ΔCEN ~ ΔCKB по двум углам (∠CEN = ∠CKB как соответственные при пересечении EN║KB секущей СК, угол С общий)

______________________

Площадь верхней трапеции:

Площадь нижней трапеции:

Объяснение:

Рассмотрим △AOD и △BOC. У них OD=OB+BD, OC=OA+AC. По условию OA=OB, AC=BD, значит и OD=OC. Угол COD у них общий, а стороны OB=OA, значит △AOD=△BOC по 1му признаку. => <ODA=<OCB

Рассмотрим △DEB и △CEA. У них <DEB=<CEA как верт., <BDA=<ACB из равенства тр-ков, выше. Значит и оставшиеся углы <EBD=EAC. По условию BD=AC, значит △DEB=△CEA по 2му признаку. =>EB=EA

Рассмотрим △EBO и △EAO. EB=EA, OB=OA, а OE - общая, значит △EBO=△EAO по 3му признаку. => <BOE=<AOE, то есть OE - биссектриса угла XOY

Насчёт вопроса как построить - я думаю так: берём угол и откладываем от его вершины 2 равных (для удобства) отрезка на одном и луче и такие же два равных на другом. Соединяем конец большого отрезка на одном луче с серединой такого же отрезка на другом. И также с другим отрезком. Место их пересечения - точку соединяем с вершиной угла и получится биссектриса. Собственно всё как на этом рисунке, только я предлагаю все отрезки сделать равными.