Нужно в треугольнике abc ab=7, bc=6, ca=3. точка d лежит на прямой bc так, что bd: dc=1: 7. окружности, вписанные в каждый из треугольников adc и adb, касаются стороны ad в точках e и f. найдите длину отрезка ef.

В этой задаче надо решить 3 треугольника:
АВС, АСД и АВД.
Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох.
А(0; 0), В(7; 0).
Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С.
Отрезки СД и ВД по заданию равны:
СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25.
ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75.
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = 0,52381.
 A = 1,019479 радиан  = 58,41186 градусов.
cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0,904762. 
B = 0,439976 радиан  = 25,20877 градусов.
cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС)  = -0,111111 = -1/9.
C = 1,682137 радиан  = 96,37937 градусов.
Хс = АС*cos A = 3*0,52381 = 1,571429.
Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3* 0,851835 = 2,555506.
Сторона АД = √(3²+5,25²-2*3*5,25) =  6,3294945.
Аналогично находим координаты точки Д.
Хд =  6,321429.
Yд = 0,319438.
Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД.
Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р =  1,982965.
Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р =  1,17517.
Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р =   6,28975.
Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р =  0,158817.
Здесь Р - периметр треугольника.
Находим площади треугольников по формуле Герона:
S(ACD) =  7,826238.
S(ABD) =  1,11803.
Находим радиусы вписанных окружностей:
r1 = S(ACD)/p = 7,826238/ 7,2897472 =  1,073595.
r2 = S(ABD)/p =  1,11803/ 7,039747225 =  0,158817.
Теперь находим длину L отрезка О1О2:
L = √(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) =  4,425080879.
По Пифагору находим:
EF = √(L²-(r1+r2)²) = 4,25.

1  В равнобокой трапеции ABCD: AB=CD= 2d, BC= 5d, AD= 7d. 
Проведем СК параллельно АВ, тогда АК=ВС=5, АВ=СК=2d, ΔCKD равносторонний CK=CD=KD=2d,  уголD=60°, угол А=углуD=60°, угол В=углуС=180°-60°=120°.
2  В параллелограмме биссектриса СР угла BCD образует равнобедренный треугольник PCD () ,  как катет лежащий против угла 30 в треугольнике CHD.  
,  как катет лежащий против угла 30 в треугольнике BMC. 
3  В ромбе ABCD биссектриса CH угла DCA образует два равных прямоугольных треугольника ACH и DCH, при этом 
Тогда в ромбе 
4  треугольник AMD равносторонний, , тогда 
Треугольник BAM равнобедренный, АВ=АМ, тогда 
5  , треугольник MCD равнобедренный, MD=CD=3,  ,  , как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, треугольник NAM равнобедренный, AM=AN=4.
Тогда ВС=AD=7, АВ=CD=3, периметр .

1  В равнобокой трапеции ABCD: AB=CD= 2d, BC= 5d, AD= 7d. 
Проведем СК параллельно АВ, тогда АК=ВС=5, АВ=СК=2d, ΔCKD равносторонний CK=CD=KD=2d,  уголD=60°, угол А=углуD=60°, угол В=углуС=180°-60°=120°.
2  В параллелограмме биссектриса СР угла BCD образует равнобедренный треугольник PCD () ,  как катет лежащий против угла 30 в треугольнике CHD.  
,  как катет лежащий против угла 30 в треугольнике BMC. 
3  В ромбе ABCD биссектриса CH угла DCA образует два равных прямоугольных треугольника ACH и DCH, при этом 
Тогда в ромбе 
4  треугольник AMD равносторонний, , тогда 
Треугольник BAM равнобедренный, АВ=АМ, тогда 
5  , треугольник MCD равнобедренный, MD=CD=3,  ,  , как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, треугольник NAM равнобедренный, AM=AN=4.
Тогда ВС=AD=7, АВ=CD=3, периметр .