Построить точку в прямоугольном треугольнике, равноудаленную от гипотенузы и катета и находящуюся на равном расстоянии от вершин острых углов. заранее !

Треугольник ABC, ∠C=90.

1) Построим биссектрису угла A.
2) Построим серединный перпендикуляр к гипотенузе AB. 
Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра - искомая.

Гипотенуза и катет составляют угол. Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Вершины острых углов ограничивают гипотенузу. Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Свойства параллельных прямых:

Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Признаки параллельности прямых:

Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.

Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.

Если сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то эти прямые параллельны.

Доказательство 1-го признака:

Дано: с∩а, с∩b, ∠1 = ∠2.

Доказать: a║b.

Доказательство:

Пусть А и В - точки пересечения прямой с с прямыми а и b соответственно. О - середина отрезка АВ.

Проведем через точку О прямую КН перпендикулярную прямой b.

АО = ОВ, ∠1 = ∠2 по условию, ∠АОН = ∠ВОК как вертикальные, значит ΔАОН = ΔВОК по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит ∠ВКО = ∠АНО = 90°, т.е. КН⊥b и КН⊥а, а если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны, т.е. a║b.

если провести прямую с точки F в точку D то будет прямоугольный треугольник, и того с этого треугольника найдем ДФ  с теоремы пифагора, нам известна сторона АФ = 4 и АД = 4 и ДФ = корень из АФ в квадрате + АД вквадрате = корень из 32

потом проведем източки  Ф в точку С и  найдем по тойже схеме по теореме пифагора а нам известно что БФ = 8 а БЦ = 4 и того корень кв из 8 в квадрате + 4 в квадрате = корень из 80.

таким образом мы нашли длины прых из точки Ф в точки Ц иД   ФЦ = корень из 80, ЦД = корень из 32