На окружности последовательно отмечены точки a, b, c, d, . точки m, n, k, - середины хорд ab, bc и cd соответственно. докажите, что углы bmn и nkc равны. ​

Проведем через точку Р прямую PB, параллельную основанию  MLтреугольника KLM. На касательной PL отметим точку А. <KLA=<KML (так как <KML - вписанный и опирается на дугу KL, а <KLA - угол между касательной LA и хордой KL, равный половине дуги KL - свойство).

<PLB=<KLA - вертикальные  => <KML= <PLB.  <PBL= <KLM (соответственные при параллельных ML и РВ),   <KLM = <KML  (углы при основании равнобедренного треугольника) => <PBL=<PLB и треугольник PLB равнобедренный.    =>   PL=PB,   HL=HB=PM/2.

По свойству касательной и секущей PL² =PK*PM = 8(8-a), где а - сторона треугольника KLM.  

NL= a/2 (дано), LH=PM/2 = (8-a)/2.  Проекция PN на КL - это отрезок NH = NL+LH = a/2+(8-a)/2 = 4.

ответ:  4 ед.

Построим окружность с центром в точке О и радиусом R.

Проведём две равные хорды: AB и CD.

Соединим центр окружности с крайними точками хорд AB и CD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AB и CD равны. Так как точки A, B, C и D лежат на окружности, OA, OB, OC и OD - радиусы (они проведены от центра окружности до точки, лежащей на окружности) и, соответственно, равны.

Так как AB = CD, OA = OD, OB = OC, то треугольники AOB и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (т.е. по трём сторонам). Значит, их соответствующие углы тоже равны. Следовательно, угол AOB равен углу COD.

Что и требовалось доказать.