Втреугольниках abc и а1b1c1 ∠а = ∠а1, ав = а1b1, ас = а1с1. на сторонах вс и в1с1 отмечены точки к и к1, такие, что ск = с1к1. ав = 10 см, вс = 13 см, с1к1 = 6 см. найти в1к1.

Решение:
В треугольниках ABC и А1B1C1 ∠А = ∠А1, АВ = А1B1, АС = А1С1. На сторонах ВС и В1С1 отмечены точки К и К1, такие, что СК = С1К1. АВ = 10 см, ВС = 13 см, С1К1 = 6 см. Найти В1К1.

Проведём из точки М параллельно ЕК линию до пересечения с ВС, назовём точка Т. Имеем ЕК   - это средняя линия треугольника МВТ. ВК = ТК.  Обозначим  площадь  треугольника ЕВК    -  S.
площадь  треугольника ЕКС = 2S т.к. высота у треугольников одинакова, а основание в 2 раза больше
площадь тругольника СЕВ = 3S  и  равна площади треугольника СЕМ, т.к. треугольники имеют одно основание и одну высоту, проведённую  из точки С.
Площадь четырёхугольника МЕКС равна  3S + 2S = 5S
(складывается из площадей треугольников ЕКС  и  МЕС)
Теперь вспомним, что медиана ВМ разделила площадь треугольника АВС на две равные части, т. е.  120 кв.см./ 2 = 60 кв.см.
Площадь треугольника МВС = 60 кв.см. и она же составляет  6 S/
А искомая площадь четырёхугольника  равна:
60 кв.см. / 6S x 5S = 50 кв.см.

Так как у параллелограмма противоположные стороны  попарно параллельны и равны, то значит NK||AC и MK||AB. 
Согласно теореме: прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному.
Следовательно треугольник АВС подобен треугольнику NBK, тогда NК:АС=ВN:ВА или АС:ВА=NК:ВN.
Аналогично треугольник АВС подобен треугольнику МКС, тогда МС:АС=КМ:ВА или АС:ВА=МС:КМ.
Приравниваем МС:КМ=NК:ВN
КМ=МС*ВN/NК=12/3=4
Периметр  параллелограмма Р=2NК+2КМ=2(3+4)=14