Периметр прямоугольника равен 30см, а одна из сторон составляет две трети другой стороны. определите большую сторону

P = (a+b)*2 = 30
a+b = 15
15/(2+3) = 3 - 1 часть
3*2 = 6
3*3 = 9.
ответ: 9.

Треугольник прямоугольный, А - вершина, СВ - основание (ну, чтоб понятно было. С справа).

АВ = 15
sinA = cosB = 0.6 
АС, ВС = ?
____________________
sin²A + cos²A = 1 , ⇒ (следовательно)
cos²A = 1² - 0.6²  или
cosA =  =  = 2, cosA = 2
____________________
Теорема синусов:
(в нашем случае а = СВ, b = АС, с = АВ). Нужно взять только два, следовательно, берем первую дробь (потому что есть синус А) и последнюю, потому что есть сторона С.
____________________
(произведение крайних равно произведению средних), ⇒
СВ = 15*0,6 = 9
____________________
Дальше по теореме Пифагора:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, с² = а² + b²
____________________
В нашем случае
15² = 9² + АС² , ⇒
АС² = 225 - 81
АС = 
АС = 12
____________________
ответ: СВ = 9; АС = 12.

В ΔDSH:Sin(α/2)=DH/SD => SD=DH/Sin(α/2).
б) SD=SA=SB=SC=m/(2Sin(α/2)).
а) DO - половина диагонали квадрата.
DO=m√2/2.
SO=√(SD²-DO²)=√(m²/4Sin²(α/2)-2m²/4)=√((m²(1-2Sin²(α/2))/2Sin(α/2)=
m√Cosα/2Sin(α/2).  (Так как 1-2Sin²(α/2)=Cosα по формуле).
в) <SHO =arctg(SO/OH) или <SHO=arctg(√Cosα/Sin(α/2)).
г) проведем плоскость ВDP, перпендикулярно ребру SC.
<POD=90°, по теореме о трех перпендикулярах, так как АС⊥BD.
<DPO=arctg(DO/OP).
ОР - высота из прямого угла SOC в треугольнике SOC.
ОР=SO*OC/SC.
OP=(m√Cosα/2Sin(α/2))*(m√2/2)/(m/2Sin(α/2)) = m√(2Cosα)/2.
<DPO=arctg((m√2/2)/(m√(2Cosα)/2)) = arctg(1/√Cosα).
Треугольник ВPD равнобедренный, поэтому искомый двугранный угол при боковом ребре SС равен 2*<DPO.
По формуле tg2α = 2/(ctgα-tgα):
tg(<BPD)=2/(ctg(<DPO)-tg(<DPO))=2/(√Cosα-1/√Cosα)=2√Cosα/(Cosα-1).

ответ: а) высота SO=m√Cosα/(2Sin(α/2)).
б) боковое ребро SA=SB=SC=SD=m/2Sin(α/2).
в) угол равен arctg(√Cosα/Sin(α/2)).
г) угол равен arctg(2√Cosα/(Cosα-1)).