Во сколько раз площадь круга больше площади вписанного в неё квадрата

диагональ квадрата равна диаметру d описанной окружности. площадь квадрата равна половине произведения диагоналей, т.е. sкв=d^2/2 sкр=п*d^2/4

sкр/sкв=п *d^2/4 * 2/d^2sкр/sкв = п / 2

Как я понял, нужно из трех вариантов выбрать правильный. критерием того, могут ли три положительных  числа быть сторонами треугольника, служит неравенство треугольника: сумма длин двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. при этом достаточно, проверить, что сумма длин самых маленьких сторон больше третьей стороны.  в первом случае 4+5> 7, значит, такой треугольник возможен. во втором случае 3+4=7, значит, такой треугольник невозможен (в этом случае треугольник как бы сплющивается в отрезок). в третьем случае 4+7=11 - ситуация такая же, как и во втором случае.  ответ: третья сторона равна 5 см

Если двугранные углы при основании равны. то, опустив все четыре апофемы и высоту пирамиды, найдем, что отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с основаниями апофем, равны по длине. докажем это. опустив одну апофему и проведя соответствующий отрезок, соединяющий высоту пирамиды и основание апофемы, найдем, что высота - это перпендикуляр, а апофема - это наклонная, причем эта наклонная перпендикулярна соответствующей стороне основания пирамиды, тогда по теореме обратной теореме "о трех перпендикулярах" найдем, что отрезок, соединяющий основание высоты и основание апофемы перпендикулярен стороне основания, и апофема и этот отрезок образуют линейный угол двугранного угла. но т. к. по условию все двугранные углы равны, то равны и все отрезки, соединяющие основания высоты и апофем (это следует из равенства прямоугольных треугольников, каждый из которых составлен из высоты, апофемы и отрезка, соединяющего их основания). что мы имеем? т.к. указанные отрезки равны и перпендикулярны сторонам основания, то отсюда следует, что основание высоты пирамиды - это центр вписанной в основание окружности. таким образом у нас есть две точки основания: центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. нужно теперь доказать, что эти точки не . по условию, основанием является равнобокая трапеция. высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. пусть abcd - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. причем ad - большее основание, bc - меньшее основание трапеции. пусть т. f - точка пересечения диагоналей. проведя диагонали трапеции ac и bd. найдем, что треугольники afd и cfb подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых ad и bc и секущих bd и ac равны). но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = ad/bc, но ad> bc, поэтому ad/bc> 1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. f, что означает, что т. f не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. чтд.