Скільки можна провести відрізків, які містять дві задані точки?

 Можна провести безліч відрізків, які містять дві задані точки.

Пусть продолжение AM за точку M пересекает BC (точнее, продолжение этого отрезка за точку С) в точке K.
Тогда
1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5;
2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC;  поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции).
То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK.
Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).

ΔАВС:  медиана АК (ВК=КС) и высота АН (<АКС прямой) делят угол А  на три равные части: <CАН=<НАК=<КАВ
Рассмотрим ΔАКС: - в нем АН - высота и биссектриса, значит этот треугольник равнобедренный (АК=АС). Тогда АН является и медианой (СН=КН=КС/2)
Рассмотрим прямоугольный ΔАНВ: в нем АК является биссектрисой.
По свойству биссектрисы
АВ/ВК=АН/КН или  АН/АВ=КН/ВК=КС/2КС=1/2
Т.к.. АН/АВ = sin B,sin B=1/2, значит <В=30°
<НАВ=180-90-30=60°
<НАК=<КАВ=<НАВ/2=60/2=30°
<А=3*30°=90°
<С=180-90-30=60°
ответ: отношение 90°/30°=3