Решить по ! знаю, что легко, всё равно не получается. даны точки a(1; 5; 8), b(5; 2; 9), c(7; 4; 7), d (8; 3; 0 доказать, что прямая ab перпендикулярна плоскости bd.

Всё-таки, я думаю, что в задании плоскость BCD

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Докажем, что АВ перпендикулярнa BD и BC. Решим через векторы.
АВ {5-1;2-5;9-8}
АВ {4; -3; 1}
|АВ|=✓(4²+(-3)²+1²)=✓26
BD {8-5; 3-2; 0-9}
BD {3; 1; -9}
|BD|=✓(3²+1²+(-9)²)=✓91
BC {7-5; 4-2; 7-9}
BC {2; 2; -2}
|BC|=✓(2²+2²+(-2)²)=✓12

cos (AB, BD)= (АВ•ВD) / (|AB|•|BD|)=(4*3+(-3)*1+1*(-9)) / (✓26•✓91)=0 => угол между векторами АВ и BD =90°, а значит прямая АВ перпенд. прямой BD

cos (AB, BC)= (АВ•ВC) / (|AB|•|BC|)=(4*2+(-3)*2+1*(-2)) / (✓26•✓12)=0 => угол между векторами АВ и BC =90°=> прямые АВ и ВС перпендикулярны.

Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и ВС, лежащим в плоскости ВСD => AB перпендикулярна плоскости BCD

Прикладываю рисунок* 
Так как угол ADC=45 градусам по условию, то угол BCD=180-45=135 по свойству. Рассмотрим треугольник CHD. В нем угол CHD равен 90 градусов, так как CH-высота. Угол ADC равен 45 градусам по условию, а угол CHD=180-90-45=45 градусам. Соответственно, этот треугольник равнобедренный - HD=CH. 
Рассмотрим фигуру ABCH. В ней углы ABC и HAB равны 90 градусов, так как трапеция прямоугольная. Угол AHC=90 градусов, так как CH-высота трапеции. Угол BCH=135-45=90 градусов. Следовательно ABCH - прямоугольник. По условию задачи BC=27 см, значит и AH=BC=27 см, так как это прямоугольник. Из этого можно найти HD. AD равно 33 см по условию, AH=27, поэтому HD=33-27=6 см. Так как треугольник CHD - равнобедренный, в нем HD=CH=6 см. Высота найдена, можно искать площадь трапеции. 
Sтрапеции=27+33/2 * 6 = 180 см^2 
ответ:180 см^2

Отметим, что наименьший угол прямоугольной трапеции, это единственный острый угол. (на нашем рисунке это <D).
SinD=EP/HD => EP=DH*SinD.
SinD=GP/HC => GP=HC*SinD.
PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH).
Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD.
Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG.
Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4.
Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4.
Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD).
Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон").
В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD.
Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2.
По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD).
Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2.
ответ: острый угол D трапеции равен 30°.