Как начертить угол 60 градусов без транспортира?

На прямой "а" откладываем циркулем произвольный отрезок АВ. Из концов этого отрезка А и В, как из центров, радиусом R=AB чертим дуги окружностей. В точках пересечения этих дуг обозначаем точку С. Угол САВ равен 60°, так как треугольник АВС равносторонний по построению.

Или так (что практически то же самое):1. К прямой "а" восстановим перпендикуляр из произвольной точки. Для этого проведем две окружности одинаковых радиусов R с центрами в произвольных точках А и В. Соединив точки пересечения этих окружностей, получим перпендикуляр к прямой "а", так как общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей. 2. Отметим на прямой "а" точку Н основания полученного перпендикуляра. Из точки А как из центра, проведем окружночть радиусом R=2АН=АВ (так как радиусы окружностей одинаковы - перпендикуляр делит отрезок АВ пополам) и соединим точку А с точкой пересечения С этой окружности и перпендикуляра. Угол АСН=30°, как угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы. Следовательно, угол САВ = 60° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)

Две прямые дороги KM и PN, которые пересекаются где-то за лесом в недоступной точке С. Нужно найти расстояние от некоторого пункта А на дороге КМ к точке С пересечения дорог. Для этого обозначили на дороге PN пункт В так, чтобы можно было измерить расстояние АВ, и определили углы ВАМ и ABN. Объясните нахождения расстояния АС. Вычислите АС, если АВ = 800 м , ∠ВАМ = 85°,  ∠АВN = 52° .

Объяснение: Таким , зная определенные теоремы геометрии, можно не ходить часами с линейкой по дороге измеряя длину АС, а ВЫЧИСЛИТЬ ее по теореме синусов .

Теорема синусов :" Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов."

 . Видимый и измеряемый отрезок пути АВ=800 м. Угол ∠С вычисляется по т. о сумме углов треугольника, т.к два доступных угла можно измерить на местности с простейшей астролябии ( можно изготовить в домашних условиях)  : ∠С=180°-85°-52°=43°.

  , АС=  ≈  ≈ 924 (м).

Диагональ делит трапецию на два треугольника со средними линиями. В треугольнике средняя линия равна половине параллельной стороны.
Задача 10. Больший из отрезков - половина от 10, т.е. 5.
Задача 11.Меньший из отрезков - половина от 12, т.е. 6.
Задача 12. Средняя линия в трапеции  - половина суммы параллельных сторон. Периметр 40, сумма боковых 20, значит сумма параллельных - тоже 20. Средняя линия 10.
 В 13. проведи высоту через точку пересечения диагоналей и рассмотри получившиеся  4 равнобедренных прямоугольных треугольника. Получится сумма оснований в 2 раза больше высоты, т.е. 20. А средняя линия 10.
В 14 проведи две высоты рассмотри два треугольника и прямоугольник. Верхнее основание получится 7, а нижнее 37. Сумма 44, средняя линия 22.
В 15 такое же рассуждение. Верхнее основание получается 111, нижнее 143. (111+143)/2 =127 - средняя линия.
 Вроде все должно быть верно. Самое главное - путь к ответу.