Знайдіть сторону основи правильної семикутної призми, висота якої дорівнює 10 см, а площа бічної поверхні - 420см2

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ ребро основания AB= 8√3, а ребро AA₁=7.
Найдите:
а) Площадь повернхности призмы
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C

Площадь призмы состоит из суммы площадей двух оснований (правильных треугольников) и площади боковой поверхности.
Все стороны оснований равны, все боковые ребра равны между собой.
S полн=2 S АВС+ 3 S АА₁С₁С
S △ АВС=(а²√3):4
S △АВС=(АС²√3):4=( 8√3)²√3):4=48√3 см²
2*S △ АВС=96√3 см²
S АА₁С₁С,=АС*СС₁=8√3*7=56√3
3*S АА₁С₁С=168 √3
S полн=168√3+96√3=264 √3см²
--------------------
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C - это тангенс угла А₁МН, образованного АН и высотой А₁М треугольника ВА₁С

Тангенс угла - отношение катета, противолежащего углу, к катету, прилежащему к этому углу.

 tg НМА1=НА1:МН
А₁Н найдем из треугольника А₁В1С1:А1Н=А1В1* sin (60)=(8√3* √3):2
А1Н=12 см
tg угла А₁МН=12:7 ≈ 1,714
-----------------------------------------------------------------------------
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S  точка О- центроснования,
SO=27, SC=45.
Найдите площадь поверхности пирамиды.   Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Площадь полной поверхности пирамиды - это сумма площади основания и ее четырех граней.
Площадь основания АВСD=АВ*СВ=AB²
AB=CO√2
CO=√(SC²-SO²)=√(45²-27²)= √(2025-729)=36
СB=CO√2=36√2
SABCD=( 36√2)²=2592
S ᐃ SBA=SH*AB:2
OH=CB:2=18√2
SH=√(SO²+OH²)
OH=CB:2=18√2
SН=√(27²+(18√2)²)=√(729+648)=√1377=9 √17
S ᐃ SBA=9 √17*18√2=162 √34
S бок=4*162 √34=648 √34
Sполн=648 √34+2592= 648(√34+4)

Раз AB=BC, то треугольник ABC - равнобедренный, а в нем:

Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Сторона АВ = АМ+МВ = 13 = ВС.

Прямоугольные треугольники АОМ и АОD равны, так как АО - биссектриса, углы ОАМ и ОАD равны, ОМ и ОD -равны (радиус) а гипотенуза общая. Значит АМ = АD = 5.

Значит стороны в треугольнике равны 13, 13 и 10. А периметр = 36.

Радиус вписанной окружности равен

r = b/2√(2a-b)/2a+b) = 10/2*√16/36 = 5*2/3 = 10/3 = 3и1/3.