Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро равно d и наклонено к плоскости основания под углом альфа. найдите высоту пирамиды, апофему пирамиды, боковую поверхность пирамиды. с рисунком .

Смотри во вложении.

В основании прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. С теоремы Пифагора (или обратив внимание на соотношение катетов) находим гипотенузу AB=2a.
Найдем высоту пирамиды. Поскольку боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к плоскости основания, проекции этих ребер на основание совпадают (каждая из них находится из прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является высота пирамиды, а углом напротив нее является угол в 30°). Отсюда следует, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной вокруг треугольника, являющегося основанием пирамиды. Но этот треугольник по условию прямоугольный⇒центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, в точке D.                                 AD=AB/2=a; H/AD=tg 30°; H=a/√3;
V =(1/3)S_(основания)·H=(1/3)(1/2)a·a√3·a/√3=a^3/6

ответ: a^3/6

Хорошая задача, заставляющая тряхнуть стариной и вспомнить некоторые трюки, полезные при работе с трапецией.

Трапеция ABCD; AD - большее основание, внизу; BC - меньшее основание, наверху. Перенесем диагональ BD на величину верхнего основания. Другими словами, через точку С проводим прямую, параллельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке E. Получился равнобедренный треугольник ACE с боковыми сторонами, равными диагоналям трапеции, то есть AC=CE=50; при этом основание треугольника равно сумме оснований трапеции, то есть удвоенной средней линии; AE=96.
Расстояние между основаниями трапеции равно высоте этого треугольника, найдем ее. Поскольку высота CF равнобедренного треугольника ACE, опущенная на его основание, является также медианой, можем найти CF из прямоугольного треугольника ACF с теоремы Пифагора:

CF^2=AC^2-AF^2=50^2-48^2=4(25^2-24^2)=
4(25-24)(25+24)=4·49=(14)^2⇒CF=14

Замечание. Многие наряду с самым известным прямоугольным треугольником с целыми сторонами (египетским: 3-4-5) знают и несколько других, одним из них является треугольник 7-24-25, стороны которого в 2 раза меньше сторон нашего. Заметив это, можно было избежать применение теоремы Пифагора (впрочем, не знаю, что сказала бы на этот счет Ваша учительница)