Нужно как никогда. периметр паралелограма дорівнює 42 см бісектриси кутів прилеглих до однієї сторони перетинаються на іншій стороні знайти сторони паралелограма

ABCD - параллелограмм, ВМ и СМ - биссектрисы.
∠1 = ∠2, так как ВМ биссектриса,
∠1 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей ВМ, значит
ΔАВМ равнобедренный, АВ = ВМ.

∠4 = ∠5 так как СМ биссектриса,
∠4 = ∠6 как акрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей СМ, значит
ΔCDМ равнобедренный, CD = DМ.

Противоположные стороны параллелограмма равны, AB = CD, значит
АВ = ВМ = MD = DC = x
ВС = AD = 2x

Зная периметр, получаем:
6x = 42
x = 7
AB = CD = 7 см 
BC = AD = 2·7 = 14 см

Дано:

AP=PN

KP=PM

AK = 24

Доказать: ΔAPK=ΔMPN

Найти: MN

Рассмотрим Δ APK и ΔMPN, они равны, потому что AP=PN (по условию), KP=PM (по условию), ∠APK = ∠MPN (вертикальные углы), что и требовалось доказать. Так как треугольники равны, а значит они имеют равные стороны и углы, отсюда MN=AK=24

ответ: доказано; 24.

№3

Дано:

BA=DC

AD=BC

∠CAD=37

Доказать: ΔABC = ΔADC

Найти: ∠BCA

ΔABC=ΔADC, потому что AB=DC (по условию), AD=BC (по условию), AC -общая сторона, это третий признак равенства треугольников, что и требовалось доказать. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, а значит ∠BCA = ∠CAD = 37

    Примем  в  ∆ АВС ∠ВАС=а, ∠АСВ=с. Продолжим медиану на её длину до т.Д. Соединив вершины А и С с Д, получим параллелограмм АВСД (  из признака параллелограмма – диагонали точкой пересечения М делятся пополам). ∠САД=с (накрестлежащие при пересечении параллельных ВС и АД секущей АС).  Аналогично ∠АСД=а (накрестлежащий углу ВАС.

  По условию ∠АВМ=а+с. В ∆ АДВ углы при основании АВ равны а+с ⇒ АД=ВД. На том же основании  в ∆ ВСД углы при СД равны а+с, и ВС=ВД.  По построению ВМ=МД, ⇒ВМ =ВС:2, т.е. отношение медианы ВМ:ВС=1:2