Дан треугольник авс, у которого ав=вс=са. вн-его высота. периметр данного треугольника равен 42см. найдите ан

42 : 3 = 14 (см) - длина каждой стороны треугольника, так как он равносторонний
В равностороннем треугольнике высота является так же и медианой, а значит, 14 : 2 = 7 (см) - длина отрезка AH

Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади, но не равных) треугольников.
Данный нам треугольник АВС Пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см).
Sabc=6см² и каждый из треугольников имеет площадь, равную 1см².
Тогда искомое расстояние - высота треугольника (одного из шести)  с катетом на гипотенузе AB.  h=2S/АM = 2/(2,5)=0,8 см.

Но для практики решим эту задачу через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины и формулу Герона для площади.
Пусть в треугольнике АВС <С=90° и стороны АС=b=3, ВС=а=4 и АВ=с=5.
Найдем медианы Ма и Мc по формуле:
Ma=(1/2)*√(2b²+2c²-a²).
Ma=(1/2)*√(2*(3²)+2*(5)²-4²)=(1/2)*√(18+50-16)=√52/2.
Mc=(1/2)*√(2*(3²)+2*(4)²-5²)=(1/2)*√(18+32-25)=5/2.
Тогда отрезки медиан:
АО=(2/3)*(√52/2)=2√13/3.
ОМ=(1/3)*(5/2)=5/6.
В треугольнике АОМ имеем (сразу приведя к общему знаменателю):
АМ=5/2 = 15/6.
АО=2√13/3=4√13/6.
ОМ=5/6.
Периметр Р=(20+4√13)/6. Полупериметр р=(10+2√13/6).
Тогда по формуле Герона  Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем:
Sаom=√[(10+2√13)*(10+2√13-15)*(10+2√13-4√13)*10+2√13-5)]/36.  Или:Sаom=√[(10+2√13)*(2√13-5)*(10-2√13)*(2√13+5)]/36.
Мы видим, что у нас под корнем произведение разности квадратов:
Sаom=√[(10²-(2√13)²)*((2√13)²-5²)/36 = √(48*27)/36=36/36 =1.
Итак, мы пришли к началу:
Искомое расстояние (высота ОН, проведенная к основанию АМ треугольника АОМ: ОН=2Sbom/АМ = 2/2,5 = 0,8.
ответ: ОН=0,8см.

P.S. Решение приведено для тех, кто не любит формулу Герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корни. Чаще всего (если не всегда) приходим к произведению разности квадратов в подкоренном выражении.

38 см

Объяснение:

1) Из верхнего основания опустим перпендикуляры на нижнее основание - получим 2 равны между собой прямоугольных треугольника (по краям) и прямоугольник - между ними.

2) Так как трапеция равнобедренная, то основания у двух полученных треугольников равны между собой и равны:

(17 - 13) : 2 = 4 : 2 = 2 см.

3) Рассмотрим треугольник. Его основание равно 2 см, а острый угол между боковой стороной и нижним основанием трапеции, согласно условию, равен 60 градусам.

Так как этот треугольник является по построению прямоугольным, то его сторона 2 см является катетом, который лежит против угла 30 градусов:

180 градусов (сумма внутренних углов треугольника) - 90 градусов (прямой угол) - 60 градусов (известный угол) = 30 градусов.

4) Катет 2 см, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. А гипотенуза - это боковая сторона трапеции, которую нам надо найти, чтобы рассчитать периметр.

2 = х /2, где х - гипотенуза (она же - боковая сторона трапеции),

откуда х = 2 * 2 = 4 см (неизвестное делимое равно произведению делителя на частное).

5) Так как трапеция равнобедренная, то её боковые стороны равны между собой.

Находим периметр трапеции: 17 + 4 + 13 + 4 = 38 см

ответ: периметр данной трапеции равен 38 см.