Один из углов равнобедренной трапеции равен 40 градусов . определите остальные углы этой трапеции.

Сумма противолежащих углов = 180гр => остальные углы равны 140гр, 140 гр и 40 гр.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Следовательно, второй угол равен 40 градусов, а два других по 140 градусов

Образующая усеченного конуса равна 2√3 см, а радиус меньшего основания √3 см. Найдите радиус сферы, описанной вокруг данного усеченного конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен 60 °.

Объяснение:

В осевом сечении данной комбинации тел получается равнобедренная трапеция , вписанная в окружность.

АВСМ-равнобедренная трапеция , О-центр описанной окружности., АВ=СМ=2√3, ВС=2√3, ∠СМА=60°. Найти R.

Пусть ВН⊥АМ, СК⊥АМ.Тогда НВСК-прямоугольник, ВС=НК=2√3 см

ΔСКМ прямоугольный. cos60°=КМ/(2√3) , КМ=√3 см ⇒АН=√3см,

                                         sin60°=CК/(2√3)  , СК=3 см .

Найдем АК=АН+НК=3√3 (см) и   АМ=2√3+2√3=4√3 (см).

ΔАСК-прямоугольный , по т. Пифагора

АС=√ ( (3√3)²+3²)=√36=6 (см)

ΔАСМ , вычислим АМ²  ,  АС²+СМ², затем сравним.

АМ²=(4√3)²=48,

АС²+СМ²=6²+(2√3)²=36+12=48.

Получили АМ²=АС²+СМ² ⇒ ΔАСМ-прямоугольный , по т. обратной т. Пифагора и  ∠АСМ=90° ⇒ центр описанной окружности лежит на середине АМ ⇒

R=2√3 cv

Мне очень понравился коротенький документ в предыдущем решении, я вдохновился :) и сделал свой вариант.
Пусть начало координат находится в центре основания, а вершины лежат в точках 
А(1,0,0) B(0,-1,0) C(-1,0,0) D(0,1,0) S(0,0,1); ребра такой пирамиды равны √2, а не 1, но угол между плоскостями от этого не зависит.
Плоскость SAD отсекает на осях отрезки (ориентированные) 1,1,1, поэтому её уравнение x + y + z = 1; перпендикулярный этой плоскости вектор (1,1,1).
Для плоскости BCF известно, что она отсекает на оси X отрезок -1 и на оси Y тоже. Осталось выяснить, через какую точку на оси Z она проходит. 
В треугольнике BSD BF и SO – медианы, поэтому точка их пересечения отсекает от SO отрезок SO/3 = 1/3, и BF принадлежит плоскости BCF, то есть эта плоскость проходит через точку (0,0,1/3). 
Отсюда уравнение плоскости BCF:  -x - y + 3z = 1; перпендикулярный ей вектор (-1,-1, 3);
Угол между векторами (1,1,1) и (-1,-1,3) и есть искомый угол.
Модули векторов √3 и √11; скалярное произведение (-1 -1 + 3) =1; 
поэтому косинус угла равен 1/√33;

Примечание
Если известно, что плоскость проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости x/a + y/b + z/c = 1; доказать это элементарно, достаточно убедиться, что все три точки удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость. Это называется уравнение плоскости "в отрезках".