Найдите наименьший угол, при котором правильный треугольник при повороте вокруг своего центра перейдет в себя.

S=30*4=120
Р=(30+4)*2=68
пусть уменьшенная длина будет 30-у
уменьшенная ширина 4-х
новая площадь должна равняться 120/2
новый периметр 68-22=46
полупериметр 46/2=23
составим систему с 2-мя неизвестными:

(30-у)(4-х)=120/2
(30-у)+(4-х)=46/2

(30-у)(4-х)=60
30-у+4-х=23

(30-у)(4-х)=60
х+у=11

(30-у)(4-х)=60      (1)
х=11-у                  (2)

подставляем наш х в (1)
получаем
(30-у)(4-х(11-у))=60
(30-у)(у-7)=60
30у-210-у²+7у-60=0
-у²+37у-270=0
Д=37²-4(-1)(-270)=1369-1080=289=17²
у1=-27   нам не подходит т.к. сторона не может быть отрицательной
у2=10

подставляем в (2)
х=11-у=11-10=1
 
ширину надо уменьшить на 10 см, длину на 1 см

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой .
Дано:
DABC - равнобедренный;
AB - основание. CD - медиана .

Док-ть:
CD - высота и биссектриса .

Доказательство:

CA=CD - по условию
РA= РB - по свойству равнобедренного треугольника
AD=DB т. к. CD - медиана ,
ЮDCAD=DCBD (по 1-ому признаку равенства треугольников)
ЮРACD= РBCD, РADC= РBDC
РACD=РBCD Ю CD - биссектриса
РACD и РBCD - смежные и равны
Ю РACD и РBCD - прямые Ю CD - высота треугольника. ещё доказательство: http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0018.htm