Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AC пересекает сторону AB этого треугольника в точке A₁, а сторону BC в точке C₁. Найдите BC, если BA=9см, A₁B:BC₁=2:3

13.5  cm

Объяснение:

A1C1 параллелен АС

Тогда треугольники АВС и А1ВС1  подобны

А1В:ВС1=2/3=AB/BC

9/BC=2/3

BC=9:2*3=13.5 cm

Нарисуем четырехугольник и обозначим его вершины АВСД. 
Противоположные стороны ВС и АД с диагональю ВД
 образуют накрестлежащие ∠СВД=∠ВДА. 
По условию противоположные  ∠А=∠С.
В треугольниках АВД и СВД равны два угла. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, и третий их угол равен. 
Тогда в треугольниках АВД и СВД равны углы при общей стороне ВД. 
          Второй признак равенства треугольников:  
треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними.  
Противоположные углы АВС и АДС четырехугольника АВСД каждый состоит из  суммы  равных углов:
∠СВД=∠ВДА по условию∠АВД=∠СДВ по доказанному; следовательно, углы АВС и АДС равны. 

Обозначим диаметр как СД.
Продолжим прямые АМ и ВМ до второго их пересечения с окружностью в точках К и Р соответственно.
Так как ∠АМС=∠BМД по условию, ∠АМС=∠ДМК  и ∠СОР=∠ВОД 
как вертикальные, то ∠АОС=∠СОР и ∠ВОД=∠ДОК.
Диаметр СД делит окружность на две равные полуокружности, в которых есть две пары равных дуг. ∩АС=∩СР и ∩ВД=∩ДК, значит ∩АВ=∩КР.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.
АК и ВР - секущие, М - точка их пересечения. ∠АМВ=(∩АВ+∩КР)/2=2·∩АВ/2=∩АВ.
∩АВ=∠АОВ ⇒ ∠АОВ=∠АМВ.
Доказано.