На рисунке PE = MT, МР = ТЕ. Докажите, что треугольники МРT и РЕТ равны. На рисунке (угол)К = (угол)А, (угол)ЕРТ = (угол)РТВ, KТ = РА. Докажите, что треугольники KЕР и ТАВ равны. На рисунке ВЕ = BD, AE = DC. Докажите, что (угол)1 =(угол)2. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, (угол)А = (угол)А1, AD = A1D1, где AD и A1D1 – биссектрисы треугольников.

Дано: Треугольник АВС, АВ=ВС=АС, АВ=а=6√3. Найти r.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника по формуле:
r=(√3/6)*a, где а - сторона треугольника.
r=√3*6√3/6 = 3см.
Тогда площадь вписанного круга равна
S=π*r² или S=9π см².
Можно и так:
 Площадь правильного треугольника по формуле:
S= (√3/4)*а² = √3*108/4= 27√3.
Или S=(1/2)*a*h, где h=√(108-27)=9. S=(1/2)*6√3*9=27√3 см².
Эта же площадь треугольника через радиус вписанной окружности равна S=p*r, где р - полупериметр.
Sabc=(3*6√3/2 )*r, отсюда r=2*S/18√3)=3 см.
Sк=π*r² = 9π.
ответ: S = 9π.

В треугольнике три стороны. Раздели каждую сторону пополам, середины соедини с противоположной вершиной и получишь три медианы.

В треугольнике три угла. Каждый угол раздели на равные части и получишь три биссектрисы.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами. Значит к биссектрисе проведёшь перпендикуляр и ещё два катета. Вот тебе и три высоты.

В тупоугольном треугольнике высоты, проведённые из острых углов падают на продолжение боковых сторон.

Все медианы, все биссектрисы и все высоты ( или их продолжения в случае тупоугольного треугольника) пересекаются в одной точке. Это три золотых точки треугольника.