Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке D. Найти BD и DC, если AD= 5 см, BC = 9 см.

АВС - равнобедренный треугольник, в котором
АВ=ВС=10см (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны между собой),
АС=10√3 - это основание треугольника,
∠А=∠С.
ВД - высота треугольника.
Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание, является биссектрисой  и медианой, значит АД=СД=АС/2=10√3  / 2=5√3  см.

Треугольник АВД - прямоугольный, ∠Д=90°, поскольку ВД - это высота.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы=сумме квадратов катетов:
АВ²=ВД²+АД²
10²=ВД²+(5√3)²
100=ВД²+75
ВД²=100-75
ВД²=25
ВД=5 см - это высота треугольника АВС.

cos∠А=АД/АВ
cos∠А=5√3/10
cos∠А=√3/2
∠А=30°

∠А=∠С= 30°

Сумма всех углов любого треугольника = 180°
∠А+∠В+∠С= 180°
30°+∠В+30°=180°
∠В=120°.

Площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания, то есть

S=ВД*АС/2=5*10√3/2=25√3 см²

ответ: высота ВД=5см, площадь S=25√3 см², углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.

Через т.А проведем касательную АМ 

АР-  хорда, ∠МАР =дуга АР:2 ( свойство угла между касательной и хордой)

Вписанный ∠АQP=дуга АР:2 ( свойство вписанного угла)⇒

∠МАР=∠АQP.

∠РQC +∠PQA=180°

Во второй окружности  сумма противоположных углов вписанного четырехугольника PBCQ равна 180° (свойство), ⇒

∠РQC+<PBC=180° Следовательно, ∠АВС=∠PQA.  

Так как ∠PQA=∠PAM, то ∠ABC=∠BAM. Они накрестлежащие, а равенство накрестлежащих углов  при пересечении двух прямых секущей – признак параллельных прямых.⇒

МА║ВС , что и требовалось доказать.