30 ! из вершины прямого угла с треугольника авс проведена высота ст. радиус окружности, вписанной в треугольник аст, равен 160, тангенс угла вас равен 15/8. найдите радиус вписанной окружности треугольника авс. заранее ! ответ должен получиться 340.

Треугольники АСТ и АВС подобны. Зная тангенс угла А, найдём коэффициент подобия
k = a₂/a₁
a₁/b₁ = tg(∠A)
a₁ = b₁*tg(∠A)
По Пифагору
AB² = a₁²+b₁² = (b₁*tg(∠A))² + b₁² = b₁²(tg(∠A)² + 1)
AB = b₁√(tg(∠A)² + 1)
Площадь через катеты
S(ABC) = 1/2*a₁*b₁
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S(ABC) = 1/2*АВ*a₂
1/2*a₁*b₁ = 1/2*АВ*a₂
a₂ = a₁*b₁/AB = a₁/√(tg(∠A)² + 1)
k = a₂/a₁ = 1/√(tg(∠A)² + 1) = 1/√((15/8)² + 1) = 1/√(225/64+64/64) = 8/√289 = 8/17
Почти готово :) Коэффициент пропорциональности найден, и радиус вписанной в больший треугольник окружности
r₁ = r₂/k = 160/(8/17) = 20*17 = 340

1. ΔABC-правильный . R и r-радиусы вписанной и описанной окружностей. Выразите R через r.

a₃ = 2r√3 и a₃ = R√3 ⇒   2r√3= R√3 ,    R=2r.

4. Найдите площадь равностороннего треугольника, вокруг которого описано окружность радиуса 3 см.

a₃ = R√3  ⇒ a₃ = 3√3 см            

S(равностороннего треуг.)=   ⇒ S(равн.треуг.)=    = (cм²)

5. Определите количество сторон правильного многоугольника углы которого равны 160 градусов.

Многоугольник правильный , поэтому сумма всех внутренних углов 160*n .  

160*n=180(n-2)   , 160n=180n-360   , 20n=360   , n=18. Количество сторон 18.

((n-2)/n*180- формула для нахождения углов в правильном многоугольнике )

6. В правильный треугольник ,сторона которого 4√3 cм, вписана окружность.  Вокруг окружности описан квадрат. Найдите сторону квадрата.

a₃ = 2r√3 ,  4√3= 2r√3  ⇒ r=2 см.

Квадрат описан около окружности, значит сторона квадрата равна

a₄ =2r или  a₄ =4см.

Сначала отложим сам луч1) в вершину угла поставить острие циркуля и провести окружность2) проведём на луче окружность.3) на угле, там где окружность пересекает "нижнюю" сторону угла, поставить циркуль и провести окружность, радиус которой равен расстоянию от этой точки до другой стороны угла.4) на луче, из места пересечения окружности и луча провести еще одну окружность, равную той, которую мы провели на угле во второй раз.5) через точку пересечения окружностей проведём прямую, соединяющую начало луча.мы получили угол, равный данному