відрізки AB і MN перетинаються у точці О, MO=OB, AMC=NBD. знайдіть градусну міру кута N, якщо A=36

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.. Угол  равен , где  — центр окружности. Его сторона  касается окружности. Найдите величину меньшей дуги  окружности, заключенной внутри этого угла. ответ дайте в градусах.Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол  — прямой. Из треугольника  получим, что угол  равен  градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги  — тоже  градуса.ответ: .. Найдите угол , если его сторона  касается окружности,  — центр окружности, а большая дуга  окружности, заключенная внутри этого угла, равна . ответ дайте в градусах.Это чуть более сложная задача. Центральный угол  опирается на дугу , следовательно, он равен  градусов. Тогда угол  равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол  — прямой. Тогда угол  равен .ответ: .. Хорда  стягивает дугу окружности в . Найдите угол  между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . ответ дайте в градусах.Проведем радиус  в точку касания, а также радиус . Угол  равен . Треугольник  — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол  равен  градуса, и тогда угол  равен  градусов, то есть половине угловой величины дуги .Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.. Через концы ,  дуги окружности в  проведены касательные  и . Найдите угол . ответ дайте в градусах.Рассмотрите четырехугольник . Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна . Углы  и  и  — прямые, угол  равен , значит, угол  равен  градусов.ответ: .. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: 
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. 
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника  складывается из периметров отсеченных треугольников.ответ: .Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером . А вот одна из сложных задач :. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен. Найдите радиус этой окружности.Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке. 
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку  — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.Соедините точку  с вершинами . Получились треугольники  и . 
Очевидно, что площадь многоугольника . 
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

По первому пункту: треугольники AOD и BOC подобны , так как <AOD=<BOC(вертикальные), < OAD = <OCB (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), <OBC=<ODA (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD).
Из подобия имеем: AD/BC=OD/BD-OD или 7,5/2,5 = OD/(12-OD) или 90 = 10*OD.
Итак, OD = 9cм, а ВО = 3см
По второму пункту тр-ки AOD и DOC подобными никогда не будут, а вот AOB и COD - надо посмотреть.
Если бы АВ = CD, то трапеция была бы равносторонней. А так -= подобия НЕТ
(тр-ков АОВ и DOC)