Через вершину а прямоугольника абсд проведена прямая ак, перпендикулярная его плоскости. расстояние от точки к до других вершин прямоугольника равны 4 м, 5м и 7 м. найдите отрезок ак

Пусть стороны прямоугольника а и b, а отрезок АК обозначим как h, диагональ прямоугольника d
тогда по теореме Пифагора 
a²+h²=4²
b²+h²=5²
a²+b²=d²
d²+h²=7²

из первого
h² = 16-a²
подставляем во все оставшиеся уравнения
b²+16-a²=25
a²+b²=d²
d²+16-a²=49
---
b²-a²=9
a²+b²=d²
d²-a²=33
d² из второго подставим в третье
b²-a²=9
a²+b²-a²=33
---
b²-a²=9
b²=33
---
33-a²=9
a²=33-9=24
---
h² = 16-a² = 16-24 = -8
Всё, решений в вещественных числах не существует.

1) в равностороннем треугольнике все высоты равны.

Верно.Это свойство высот равностороннего треугольника

2)точка пересечения медиан произвольного треугольника - это центр окружности, описанной около этого треугольника.

Неверно. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных  перпендикуляров к сторонам треугольника

4)медиана, это отрезок соеденяющий середины двух сторон треугольника.

Неверно. Медиана  - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

5) треугольник со сторонами 6,8,9- не существует.

Неверно. Существует.

Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.

Проверим:

6+8>9, 14>9  

8+9>6, 17>6

6+9>8, 15>8  

6) треугольник со сторонами 3,4,5 -прямоугольный.

Верно. Он египетский.

Египетский треугольник - прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5

ответ 1 и 6

Для решения данной задачи вспомним свойство равнобедренного треугольника: биссектриса проведенная из вершины угла равнобедренного треугольника к основанию является его высотой и медианой.
Таким образом задача сводится к решению двух подзадач.
1. построение биссектрисы угла;
2. построение перпендикуляра к прямой через заданную точку.
Решения:
1. раскроем циркуль на удобное расстояние и, поставив ножку на т. А сделаем засечки на лучах угла;
не изменяя раствора циркуля, поставив его ножку на сделанные засечки, сделаем еще две до пересечения;
полученная т. А1 принадлежит биссектрисе, проводим её.
2. раскроем циркуль на расстояние большее чем расстояние от т. М до биссектрисы и, поставив ножку на т. М сделаем засечки на АА1;
не меняя раствор циркуля ставим ножку на засечки и делаем новые засечки с другой стороны АА1;
получаем точку М1;
прямая ММ1 перпендикулярна АА1 и точки В и С - пересечения с углом А образуют равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС которому принадлежит т. М.