Длина окружности ограничивающий круг равна периметру правильного треугольника во сколько раз площадь данного круга больше площади круга вписанный в треугольник?

Всё решается очень просто.
Если радиус окружности равен "r", а сторона треугольника равна "а", то можно составить простое уравнение (по условию задачи)

3*а=2*pi*r
Тогда сторона треугольника а=(2/3)*pi*r
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник вычисляется по формуле: а*(sqrt 3)/6
"Площадь данного круга"=pi*r^2
Осталось в формулу "а*(sqrt 3)/6" подставить "а=(2/3)*pi*r", возвести в квадрат и умножить на "pi", найти площадь вписанной окружности.
И последнее действие: разделить pi*r^2 на площадь вписанной окружности в треугольник.
Вот и всё решение.

Во-первых, задача неопределенная. Потому что не сказано - на плоскости или в пространстве.
Примем - на плоскости.
Тогда возможны случаи, что какие-то стороны параллельны осям. Тогда там могут быть варианты, которые решаются довольно просто.

Мы же примем, что ни одна из сторон не параллельна осям.
Расположение точек   a,b,d может быть разным ( соответственно 6-угольник может располагаться по-разному), но принцип построения есть в файле.   Если нужно "чистое" построение- сотрите вс угольник и линии проекции - получите план принципа построения.

Решение:
1. Найдем катеты прямоугольного треугольника. Пусть x - 1 часть. Тогда 3х - 1 катет, 4х - второй катет. Решая уравнение по т. Пифагора, получим: 9x^2+16x^2=2500
25x^2=2500
x^2=100
x=-+10

-10 мы значение не берем по смыслу. Значит, x=10.
Тогда 3х = 3*10 = 30(мм)
4х = 4*10 = 40(мм).
2. Если катет есть среднее пропорциональное для отрезка, делящаяся высотой, проведенной из вершины угла, и гипотенузы, то выразим сам этот отрезок:
ac=a^2\c
a - катет
с - гипотенуза
a с индексом с - отрезок.
ac=900\50=18
А второй отрезок можем найти разностью между гипотенузой и этим отрезком: 50-18=32(мм).
ответ: 18 и 32 мм