1.найдите площадь прямоугольного треугольника , если его катет и гипотенуза равны соответственно 32 и 68 2. в прямоугольном треугольнике гипотенуза равно 10 , а один из острых углов равен 45 . найдите площадь треугольника 3.катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 4. найдите гипотенузу этого треугольника.

1. а=32
с=68
S-?

в=√(68² - 32²)=√3600 = 60.
S=1\2 * 60 * 32 = 960 (кв.ед.)

2. а=в (т.к. острые углы  по 45 градусов)
10² = а² + в²
100 = 2а²
а²=50;  а=√50 = 7; в=7.
S=1\2 * 7 * 7 = 24,5 (кв. ед.)

3. а=8
в=4
с-?

с²=а²+в²=64+16=80; с=√80=4√5 (ед.)

Если трапецию можно вписать в окружность, то значит трапеция – равнобедренная. В равнобедренной трапеции боковые стороны АВ и СД равны, а также углы при любом основании равны. Значит угол В = углу С=120°, а угол А = углу Д=180-120=60°
Угол АВД является вписанным и опирается на диаметр АД, значит он прямой
Из прямоугольного треугольника АВН (ВН=6 - высота трапеции) найдем боковую сторону АВ
АВ=ВН/sin 60=12/√3=4√3
АН=ВН/tg 60=6/√3=2√3
Из прямоугольного треугольника АВД найдем нижнее основание АД
АД=АВ/cos 60=8√3
диагональ ВД=АВ*tg 60=4√3*√3=12
В равнобедренной трапеции меньшее основание ВС=АД-2АН=8√3-2*2√3=4√3
Получилось, что треугольник ВСД - равнобедренный.
Найдем радиус описанной окружности около него через площадь
S=1/2*ВС*ВД*sin (120-90)=1/2*4√3*12*1/2=12√3
R=ВС*СД*ВД/4S=4√3*4√3*12/4*12√3=4√3

ответ: 96
Решение: точка О - центр вписанной окружности радиусом r
Точка F - основание высоты равнобедренного треугольника на стороне ac
из точки Е на стороне ab - высоту треугольника abO. ее длинна равна r
Треугольники abF и ebO - подобны по двум углам.
Пропорция Fb/ab = eb/Ob
Fb=Ob+FO=15+r
ab=30
eb = =
Ob = 15         
          (15+r)/30 =  / 15
После приведения
           225+30r+ = 900 - 4
           + 6r -135 =0
Решение квадратного уравнения - два ответа: 9 и -15
r = 9
Зная радиус находим длину биссектрисы Fb = 15+9 =24
В треуг. abF по теореме Пифагора сторона af = 18
P = 30+30+18*2 = 96

Возможны неточности в математических определениях - лет 15 в математику не лез. Удачи.