Треугольник авс-прямоугольный угол с равен 90 градусов, угол а равен 30 градусов, ас=а, дс перпендикулярно авс.дс=корень из трёх надва а. чему равен угол между плоскостями адв и асв.

в треугольнике авс из точки с проведём перпендикуляр к ав до пересечения в точке е. соединим д с е. искомый угол дес. в треугольнике асе  се=а умноженное на sin30=а делённоё на 2. дс делённое на се это тангенс искомого угла дес=корень из трёх делённоё на а. отсюда угол между плоскостями адв и асв равен arctg (корень из трёх делённое на а).

 

условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается. 

из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей "отсеченные" вершины (это просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали). 

смысл решения такой. 

находим большую диагональ d = a*корень(3);

далее, пусть сторона треугольника x,

тогда диаметр вписанной окружности d = x/корень(3),  

боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равна

x/корень(2), её проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень(3), отсюда высота пирамиды равна 

h^2 = x^2/2 - x^2/3 = x^2/6; h = x/корень(6);

ну, и получаем соотношение

d - 2*h = d; то есть

a*корень(3) - 2*x/корень(6) =  x/корень(3);  

а радиус шара равен r = d/2=  x/(2*корень(3))

a*корень(3) = 2*r*(корень(2) + 1);

r = (1/2)*a*корень(3)/(корень(2) + 1);

вроде так :  

 

Теорема 1

величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

доказательство

рассмотрим угол nав, образованный касательной na и хордой ab.  проведем диаметр ас. касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(can)=90°известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. отсюда имеем, что угол(bac) равен половине угловой величины дуги вс или половине угла(вос). угол(bac)=угол(boc)/2.угол(nab)=90°-угол(bac), отсюда получаемугол(nab)=90°-угол(boc)/2=(180°-угол(boc))/2=угол(аов)/2то есть равен половине угловой величины дуги ва.

фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). одна из сторон угла при этом становится касательной.

теорема 2 (о касательной и секущей)

если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

доказательство

на рисунке, где ma - касательная, а mcb - секущая,эта теорема выглядит так: ма2=мв*мс. докажем это.

по предыдущей теореме угол мас равен половине угловой величины дуги ас. но вписанный угол abc тоже опирается на дугу ac, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги ас. оба угла равны половине угловой величины дуги ac, следовательно, эти углы равны между собой. угол(mac)=угол(abc).принимая во внимание то, что у треугольников амс и вма угол при вершине м общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.из подобия имеем: mc/ma=ма/mb, откуда получаем ма2=мв*мс